Ebenenscharen Aufgaben ...

Question

Stimmt alles?

a) a=4

b) a=3

c) a=6

d) keine Ebene

e) Wie bestimmt man die Schnittgerade g? Man setzt E₀ und E₂ gleich?

Aufgabe:

Gegeben sei weiterhin die Ebenenschar \( \mathrm{E}_{\mathrm{a}}: \mathrm{ax}+2 \mathrm{y}+(\mathrm{a}-2) \mathrm{z}=4 \)

a) Welche Ebene der Schar enthält den Punkt P \( (2|-4| 2) ? \)
b) Ermitteln Sie diejenige Scharebene, in der die Gerade \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right)+\mathrm{r} \cdot\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right) \) liegt.
Bestimmen Sie alle Ebenen der Schar, welche zu einer Koordinatenachse parallel liegen.
Welche Ebene der Schar verläuft parallel zur Gerade \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}{3} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right) ? \)
e) Bestimmen Sie die Schnittgerade g der Ebenen E₀ und E \( _{2} \) Weisen Sie nach, dass diese Grade g in allen Ebenen der Schar liegt.

Answer 1

E: a·x + 2·y + (a - 2)·z = 4

a)

a·(2) + 2·(-4) + (a - 2)·(2) = 4 --> a = 4

b)

a·(1) + 2·(0) + (a - 2)·(1) = 4 --> a = 3

[3, 2, 1] * [-1, 1, 1] = 0 --> passt

c)

a = 0 oder a = 2

d)

[a, 2, a - 2] * [1, 2, 1] = 0 --> a = -1

(-1)·(3) + 2·(1) + (-1 - 2)·(2) = -7 ≠ 4

e)

E0: 2·y - 2·z = 4

E2: 2·x + 2·y = 4

Bestimmt erfüllt [0, 2, 0] die Gleichungen

[0, 2, -2] ⨯ [2, 2, 0] = [4, -4, -4] = 4·[1, -1, -1]

g: [0, 2, 0] + r·[1, -1, -1] = [r, 2 - r, -r]

a·(r) + 2·(2 - r) + (a - 2)·(-r) = 4 --> stimmt

Comments

Zu c) habe ich die Koordinaten [0 , 0 , 1] in E_a eingesetzt. Geht das auch? Dann sind sie doch parallel zur z-Achse oder nicht?

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Dann bestimmst du die Ebene in der der Punkt (0|0|1) liegt. Das war aber nicht gefragt.

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b)  [3, 2, 1] * [-1, 1, 1] = 0 --> passt

Ich weiß was Du hier gemacht hast. Jedoch weiß ich nicht warum... Das steht ja nicht wirklich in der Aufgabe... Oder braucht man das als Kontrolle?

c) a=0 bedeutet parallel zur x-Achse?

    a=2 bedeutet parallel zur z-Achse?

d) Ein Normalenvektor ist also immer parallel zum Richtungsvektor, wenn sie auch orthogonal sind?

e) Wie kommst Du auf [0, 2, 0]?

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b)

Ich kontrolliere um sicher zu gehen das die Gerade auch in der Ebene liegt. Ansonsten könnte die Gerade auch nur parallel sein.

c) genau

d) ich bin mir hier nicht ganz sicher ob du das verstanden hast.

e) Du siehst durch Ansehen der Ebenengleichungen, dass [0, 2, 0] beide Gleichungen löst.

Du hast 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten und somit kannst du eine Unbekannte frei wählen. Wähle also geschickt ein y und berechne damit auch x und z, sodass beide Gleichungen erfüllt sind. Es gibt nicht nur meine Lösung sondern unendlich viele.

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b) [3, 2, 1] * [-1, 1, 1] = 0 --> passt

Das zeigt doch, dass sie parallel sind...?

d) Ich hätte folgendes gemacht:

Geht das? Aber was hat bei dir die Orthogonalität damit zu tun?

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[3, 2, 1] * [-1, 1, 1] = 0

Ich hätte auch besser schreiben sollen

a·x + 2·y + (a - 2)·z = 4

3·(-1) + 2·(1) + (3 - 2)·(1) = 0 ≠ 4 --> Damit liegt der Punkt der geraden nicht in der Ebene.

Ich habe hier einfach die linke Seite mit dem Skalarprodukt ausgerechnet.

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Das heißt sie sind echt parallel oder?

Und es gibt also keine Scharebene, in der die Gerade g liegt?

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Richtig. Bei d) gibt es keine Scharebene, in der die Gerade g liegt. g kann nur echt parallel liegen. Das wollte ich auch nachweisen.

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bei b) gibt es keine Schar

bei d) lautet sie E_-1 oder?

Und bei d) Der Normalenvektor und der Richtungsvektor müssen orthogonal sein oder?

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Sowohl bei b) als auch d) gibt es doch ein Ergebnis. Lies dir nochmal die Aufgabe durch was gefragt ist.

Bei d) müssen Normalenvektor und Richtungsvektor orthogonal sein, damit die Gerade parallel zur Ebene ist.

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[a, 2, a - 2] * [1, 2, 1] = 0 --> a = -1

(-1)·(3) + 2·(1) + (-1 - 2)·(2) = -7 ≠ 4

Man setzt dann die Koordianten des Stützvektors von g in die Ebenengleichung E-1 ein.
Dann erhält man doch:
-7=4 --> falsche Aussage, d.h. sie sind och parallel oder nicht?

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Ja sie sind parallel. Aber danach war doch gefragt. Du verwirrst nicht nur dich sondern inzwischen auch mich.

Ich will nur vermeiden das die Gerade unecht parallel ist.

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mhhh

Ich schreibe nochmal die Lösungen zu  b) und d). Vielleicht kannst Du, dass nochmal bestätigen:

b)

d)

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Schau dir doch nochmals meine Lösung an. Und versuche zu verstehen was ich da gemacht habe und warum.

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b)

a·(1) + 2·(0) + (a - 2)·(1) = 4 --> a = 3

[3, 2, 1] * [-1, 1, 1] = 0 --> passt

Im Grunde geht es darum zu überprüfen, ob eine Parallelität vorliegt. Liegt eine Parallität vor, dann kann die Gerade nicht in E liegen. Liegt keine Parallelität vor, dann liegt die Gerde in E. Dazu braucht man den Normalenvektor. Deshalb bestimmt man erst, um welche Ebenenschar es geht. Man setzt die Koordinaten des Stützvektors von g in E_a ein und erhält a=3. Damit weiß man, dass es um die Ebene E₃ geht.  Da der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene orthogonal sind, hat man nun eine Parallelität vorliegen. Es gibt also keine Scharebene.

d)

[a, 2, a - 2] * [1, 2, 1] = 0 --> a = -1

(-1)·(3) + 2·(1) + (-1 - 2)·(2) = -7 ≠ 4

Da es um die Parallelität geht, bildet man das Skalarprodukt von dem Normalenvektor und dem Richtungsvektor. Damit bestimmt man a.  Du setzt den Stützvektor von g in E_-1 ein. Da eine falsche Aussage vorliegt, liegt eine Parallelität vor (echt parallel).

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b)

Für a = 3 befindet sich der Punkt [1, 0, 1] in der Ebene. Das ist also schon ein Punkt.

Dann prüfe ich ob der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene ist. Da er orthogonal ist ist die gerade parallel zur Ebene. Da aber auch ein Punkt der Geraden in der Ebene liegt, ist die gerade unecht parallel zur Ebene und befindet sich damit in der Ebene.

Damit liegt die Gerade in der Scharebene mit a = 3.

d) hast du wohl richtig verstanden.

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c)

a=0 ist ja parallel zur x-Achse.
a=2 ist ja parallel zur z-Achse.

Bei a=0 ist das x bei der Ebenengleichung nicht da und bei a=2 ist das z bei der Ebenengleichung nicht da.

Wie kann a=0 parallel zur x-Achse sein, wenn bei der Ebenengleichung das x nicht vorhanden ist?

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Weil du dann alles für x einsetzen darfst. Zeichne dir doch mal so eine Ebene auf.

Du kannst das auch im zweidimensionalen dir vorstellen

y = m * x + b

Was ist wenn die Steigung Null ist

y = 0 * x + b

y = b

Das ist also etwas was parallel zur x-Achse ist weil das x nicht da ist.

x = c

ist hingegen etwas was zur y-Achse parallel ist, weil das y nicht da ist.

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Kannst Du mir mal eine Funktionsgleichung geben....

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Mir ist das jetzt klar.