3 mal mindestens Aufagbe

Question

Hi :)

Ich habe hier eine Abituraufgabe die ich zur Übung rechnen wollte, nur komme ich jetzt nicht weiter ...

Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass die Ruckrufwahrscheinlichkeit fur einen Mann, der seine Bewerbung mit einem attraktiven Foto verschickt hat, bei 20% liegt.

Ermitteln Sie beispielsweise unter Verwendung des Materials, wie viele Bewerbungen er mindestens verschicken muss, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 4 Rückrufe erhält

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P (X ≥ 4) ≥ 0, 5

1 − P (X ≤ 3) ≥ 0, 5

Wie muss ich jetzt weiter machen? Würde mich sehr über Hilfe freuen. :)

LG Luna

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Answer 1

Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass die Rückrufwahrscheinlichkeit fur einen Mann, der seine Bewerbung mit einem attraktiven Foto verschickt hat, bei 20% liegt.

Ermitteln Sie beispielsweise unter Verwendung des Materials, wie viele Bewerbungen er mindestens verschicken muss, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 4 Rückrufe erhält

μ = n·p = 0.2·n

σ = √(n·p·(1 - p)) = 0.4·√n

1 - Φ((3.5 - 0.2·n) / (0.4·√n)) ≥ 0.5

Φ((3.5 - 0.2·n)/(0.4·√n)) ≤ 0.5

(3.5 - 0.2·n)/(0.4·√n) ≤ 0

n ≥ 17.5 = 18

Eine Nachkorrektur mit der Binomialverteilung ergibt das es 19 sein müssen.

Comments

Vielen Dank :)

Kann man diese Aufgabe auch noch anders lösen?

Die Schreibweise von dir ist mir nicht vertraut und ich habe Schwierigkeiten sie nachzuvollziehen.

Wir haben solche Aufgaben immer recht schnell mit Logarithmus gelöst bekommen, geht das auch hier?

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Du kannst das machen wenn es um die Wahrscheinlichkeit geht mind ein Rückruf zu bekommen. Es geht hier dummerweise darum mind. 4 Rückrufe zu bekommen. Dann sieht die Rechnung schwieriger aus.

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Mit der Binomialverteilung sieht die Wahrscheinlichkeit leider wie folgt aus:

P (X ≤ 3) = ∑(COMB(n, x)·0.2^x·0.8^{n - x}, x, 0, 3) = 2^{2·n - 7}·5^-n·(n³ + 9·n² + 86·n + 384)/3

Damit zu rechnen dürfte ziemlich schwer werden. Also würde man hier erstmal über die Normalverteilung nähern und dann mit der Binomialverteilung kontrollieren und nachjustieren wenn es möglich ist.

Ihr habt vermutlich allerdings die Normalverteilung noch nicht gehabt. Dann bin ich gespannt wie euer Lehrer euch das beibringt.

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Ja die Normalverteilung hatten wir tatsächlich noch nicht. Aber vielen Dank für deine Mühe , ich werde noch mal versuchen das Ganze  besser nachzuvollziehen  :)

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Eine Nachkorrektur mit der Binomialverteilung ergibt das es 19 sein müssen.

Kommt da nicht 16 raus? (siehe meine Rechnung)

Answer 2

$\text{P}(\text{X}\geq4) = 1 - \text{P}(\text{X}\leq3) \geq 0,5 \\ \text{P}(\text{X}\leq3) = \text{P}(\text{X}=1)+\text{P}(\text{X}=2)+\text{P}(\text{X}=3)+\text{P}(\text{X}=0)$

Die Wahrscheinlichkeit für P(X=k) berechnest du mit der Bernoulli-Formel.
$\\\text{P}(\text{X} = {\color{red}k}) =\binom{\text{\color{blue}{n}}}{\text{{\color{red}k}}}\cdot\text{p}^\text{\color{red}{k}}\cdot(1-\text{p})^{\text{\color{blue}{n}}-\text{\color{red}{k}}}$

Da es hier insgesamt 4 Möglichkeiten gibt, musst du insgesamt 4 mal die Bernoulli-Formel verwenden.

$\\\text{P}(\text{X} = {\color{red}1}) =\binom{\text{\color{blue}{n}}}{\text{{\color{red}1}}}\cdot\text{p}^\text{\color{red}{1}}\cdot(1-\text{p})^{\text{\color{blue}{n}}-\text{\color{red}{1}}}$

$\\\text{P}(\text{X} = {\color{red}2}) =\binom{\text{\color{blue}{n}}}{\text{{\color{red}2}}}\cdot\text{p}^\text{\color{red}{2}}\cdot(1-\text{p})^{\text{\color{blue}{n}}-\text{\color{red}{2}}}$

$\text{P}(\text{X} = {\color{red}3}) =\binom{\text{\color{blue}{n}}}{\text{{\color{red}3}}}\cdot\text{p}^\text{\color{red}{3}}\cdot(1-\text{p})^{\text{\color{blue}{n}}-\text{\color{red}{3}}}$

$\text{P}(\text{X} = {\color{red}0}) =\binom{\text{\color{blue}{n}}}{\text{{\color{red}0}}}\cdot\text{p}^\text{\color{red}{0}}\cdot(1-\text{p})^{\text{\color{blue}{n}}-\text{\color{red}{0}}}$

Diese Gleichungen müssen nun alle addiert werden und p = 0,2.

$\small\text{P}(\text{X}\leq3)=\binom{{\color{blue}n}}{{\color{red}1}}\cdot 0,2^{,\color{red}1}\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}1}} + \binom{{\color{blue}n}}{{\color{red}2}}\cdot 0,2^{,\color{red}2}\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}2}} + \binom{{\color{blue}n}}{{\color{red}3}}\cdot 0,2^{,\color{red}3}\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}3}} + \binom{{\color{blue}n}}{{\color{red}0}}\cdot 0,2^{,\color{red}0}\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}0}}$

n hoch 1 ist 1, 0,2^0 ist 1 und n hoch 0 ist 1. Wir kommen nun auf folgende Gleichung:

$\small\text{P}(\text{X}\leq3)=0,2\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}1}} + \binom{{\color{blue}n}}{{\color{red}2}}\cdot 0,2^{,\color{red}2}\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}2}} + \binom{{\color{blue}n}}{{\color{red}3}}\cdot 0,2^{,\color{red}3}\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}3}} + (0,8)^{\color{blue}n}$

Das kannst du durch Ausprobieren lösen. Für k = 16 erhältst du:

$\small\text{P}(\text{X}\leq3)=0,2\cdot0,8^{\color{blue}15} + \binom{{\color{blue}16}}{{\color{red}2}}\cdot 0,2^{\color{red}2}\cdot0,8^{\color{blue}14} + \binom{{\color{blue}16}}{{\color{red}3}}\cdot 0,2^{\color{red}3}\cdot0,8^{\color{blue}13} + 0,8^{\color{blue}16} \approx 0,49258$

Der Mann muss mindestens 16 Bewerbungen verschicken, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 4 Rückrufe erhält.

Comments

Wenn du rechnest solltest du richtig rechnen.

Du hast den Faktor (16 über 1) = 16 mit Sicherheit vergessen.

Ich verstehe dich nicht da gibt es unzählige Rechner für die Binomialverteilung im Netz. Ist das dann so schwer, die eigene Rechnung einfach mal nachrechnen zu lassen?

Ich spare mir bei meinen Antworten das nachrechnen meist, weil eigentlich die Fragesteller eh nochmals alles genau nachrechnen und prüfen sollten.

Aber wenn ich jemanden verbessern möchte dann möchte ich selber auch sicherstellen das meine Rechnung dann auch richtiger ist als die von dem ich verbessern möchte.

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Wertetabelle für mind. 4 Treffer ergibt für folgende n folgende Wahrscheinlichkeiten

[16, 0.4018656744;
17, 0.4511237954;
18, 0.4989745414;
19, 0.5449112576;
20, 0.5885511380]

Und da ist das erst bei n = 19 der Fall.

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μ = n·p = 0.2·n

σ = √(n·p·(1 - p)) = 0.4·√n

1 - Φ((3.5 - 0.2·n) / (0.4·√n)) ≥ 0.5

Φ((3.5 - 0.2·n)/(0.4·√n)) ≤ 0.5

(3.5 - 0.2·n)/(0.4·√n) ≤ 0

n ≥ 17.5 = 18

Wie lautet der Name dieser Rechenmethode?

da gibt es unzählige Rechner für die Binomialverteilung im Netz

Schick mir mal bitte einen Link und eine kurze Erklärung

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Wie lautet der Name dieser Rechenmethode?

Abschätzen des Stichprobenumfangs über die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung.

Schick mir mal bitte einen Link und eine kurze Erklärung

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

https://www.geogebra.org/classic#probability (Hier einmal umstellen von Normal auf Binomial)

Die Seiten sind eigentlich selbsterklärend.

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p = 0,2 
für k habe ich 4 eingetragen

dann auf P größer gleich k

Der Rechner spuckt eine andere Wertetabelle aus

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Der Rechner spuckt eine andere Wertetabelle aus

Der Rechner macht grundsätzlich eine Wertetabelle für verschiedene Werte von k und keine für verschiedene Werte von n.

Du musst das hier also einzeln für verschiedene Werte für n machen z.B. für n = 16

Du siehst das die Wahrscheinlichkeit für P(X ≥ 4) noch unterhalb von 50% liegt und damit ist n = 16 eben nicht korrekt.

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Wenn man Wertetabellen für n machen will, dann braucht du schon mind. einen CAS-Rechner. Also da bist du mit Geogebra (nicht die Seite, die ich verlinkt habe) schon recht gut bedient. Damit kannst du solche Dinge recht einfach machen.