mit der üblichen Multiplikation als Vektoraddition und der Skalarmultiplikation.

Question

Stimmt diese Aussage oder nicht? Beweise

1. V = {a ∈ R | a > 0} mit der üblichen Multiplikation als Vektoraddition und der Skalarmultipli-

   kation λ ⊙ v := vλ ist ein R-Vektorraum. 

   Könntet ihr mir einen Ansatz geben wie ich an solch eine Aufgabe rangehen soll?:)

Answer 1

Ist wohl    λ ⊙ v := v^λ  .

Da musst du alle VR - Axiome durchprüfen.

( V , + )  kommutative Gruppe  ?    stimmt wohl, weil V nur die positiven Zahlen enthält und

die bilden bzgl.  *  ( Das ist ja die Vektoraddition) eine Gruppe mit neutral. El   1.

Die 1 ist also  der 0-Vektor.

Und die Distributivgesetze kannst du mit den Potenzgesetzen beweisen, etwa so

Sind a,b aus V  und    λ  aus IR  dann musst du prüfen

λ ⊙ (a+b)  =λ ⊙ a     +     λ ⊙  b

etwa so    λ ⊙ (a+b)  =   (a*b)^λ =  a^λ  *  b^λ      = λ ⊙ a     +     λ ⊙  b
.

etc.