\( \text{P}(\text{X}\geq4) = 1 - \text{P}(\text{X}\leq3) \geq 0,5 \\ \text{P}(\text{X}\leq3) = \text{P}(\text{X}=1)+\text{P}(\text{X}=2)+\text{P}(\text{X}=3)+\text{P}(\text{X}=0) \)
Die Wahrscheinlichkeit für P(X=k) berechnest du mit der Bernoulli-Formel.
\(\\\text{P}(\text{X} = {\color{red}k}) =\binom{\text{\color{blue}{n}}}{\text{{\color{red}k}}}\cdot\text{p}^\text{\color{red}{k}}\cdot(1-\text{p})^{\text{\color{blue}{n}}-\text{\color{red}{k}}}\)
Da es hier insgesamt 4 Möglichkeiten gibt, musst du insgesamt 4 mal die Bernoulli-Formel verwenden.
\(\\\text{P}(\text{X} = {\color{red}1}) =\binom{\text{\color{blue}{n}}}{\text{{\color{red}1}}}\cdot\text{p}^\text{\color{red}{1}}\cdot(1-\text{p})^{\text{\color{blue}{n}}-\text{\color{red}{1}}}\)
\(\\\text{P}(\text{X} = {\color{red}2}) =\binom{\text{\color{blue}{n}}}{\text{{\color{red}2}}}\cdot\text{p}^\text{\color{red}{2}}\cdot(1-\text{p})^{\text{\color{blue}{n}}-\text{\color{red}{2}}}\)
\(\text{P}(\text{X} = {\color{red}3}) =\binom{\text{\color{blue}{n}}}{\text{{\color{red}3}}}\cdot\text{p}^\text{\color{red}{3}}\cdot(1-\text{p})^{\text{\color{blue}{n}}-\text{\color{red}{3}}}\)
\(\text{P}(\text{X} = {\color{red}0}) =\binom{\text{\color{blue}{n}}}{\text{{\color{red}0}}}\cdot\text{p}^\text{\color{red}{0}}\cdot(1-\text{p})^{\text{\color{blue}{n}}-\text{\color{red}{0}}}\)
Diese Gleichungen müssen nun alle addiert werden und p = 0,2.
\(\small\text{P}(\text{X}\leq3)=\binom{{\color{blue}n}}{{\color{red}1}}\cdot 0,2^{,\color{red}1}\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}1}} + \binom{{\color{blue}n}}{{\color{red}2}}\cdot 0,2^{,\color{red}2}\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}2}} + \binom{{\color{blue}n}}{{\color{red}3}}\cdot 0,2^{,\color{red}3}\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}3}} + \binom{{\color{blue}n}}{{\color{red}0}}\cdot 0,2^{,\color{red}0}\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}0}}\)
n hoch 1 ist 1, 0,2^0 ist 1 und n hoch 0 ist 1. Wir kommen nun auf folgende Gleichung:
\(\small\text{P}(\text{X}\leq3)=0,2\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}1}} + \binom{{\color{blue}n}}{{\color{red}2}}\cdot 0,2^{,\color{red}2}\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}2}} + \binom{{\color{blue}n}}{{\color{red}3}}\cdot 0,2^{,\color{red}3}\cdot(0,8)^{{\color{blue}n}-{\color{red}3}} + (0,8)^{\color{blue}n}\)
Das kannst du durch Ausprobieren lösen. Für k = 16 erhältst du:
\(\small\text{P}(\text{X}\leq3)=0,2\cdot0,8^{\color{blue}15} + \binom{{\color{blue}16}}{{\color{red}2}}\cdot 0,2^{\color{red}2}\cdot0,8^{\color{blue}14} + \binom{{\color{blue}16}}{{\color{red}3}}\cdot 0,2^{\color{red}3}\cdot0,8^{\color{blue}13} + 0,8^{\color{blue}16} \approx 0,49258\)
Der Mann muss mindestens 16 Bewerbungen verschicken, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 4 Rückrufe erhält.
