Wie berechne ich die Nullstellen dieser komischen Funktion?

Question

Gegeben:

f(x)= (1-x²)*√x

Aufgabenstellung

Untersuchen sie f auf Nullstellen und Extrema.

Ich hab mit Extrema angefangen:

f'(x)=0

-> x Wert in f(x)

Ableitung von f(x), Produktregel angewendet:

f'(x)= (-2x * x^0.5 ) + ((1-x²)* 0.5^-0.5 )

Ausmultipliziert und zusammengefasst:

f'(x)= -2.5x^1.5 +0.5x^-0.5


Das sollte, soweit ichs überprüft habe, richtig sein.

Und ab hier hab ich absolut keine Ahnung wie ich die NS bestimmen soll, weil die Exponenten so komisch sind :(
Ich hab noch nie NS mit so ner komischen Funktion bestimmt, weiß auch nicht wie ich die NS der Ausgangsfunktion bestimmen soll. Ich dachte an Ausklammern, komme aber nicht weit.
Danke :)

Answer 1

Ableitung und Nullstelle:

$$ f'(x)=-2x\sqrt{x}+(1-x^2)\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}=-2x\sqrt{x}+\frac{1-x^2}{2\sqrt{x}} $$
Die letzte Form der Ableitung mit $$ 2\sqrt{x} $$ multiplizieren
$$ f'(x)=\frac{-4x^2+1-x^2}{2\sqrt{x}}=\frac{1-5x^2}{2\sqrt{x}} $$
Schau mal, ob du jetzt die Nullstellen finden kannst.

Comments

Achhh ja da muss man ja mur noch 1-5x² auflösen, die Lösung ist dann die Wurzel von 1/5, negativ, positiv. Dankeschön, sehr beeindruckender Lösungsweg :D

Nur wie bist du drauf gekommen, die letzten Teil der Ableitung so umzuschreibe von

0.5x^-0.5 (1-x²)

auf

(1-x²) / (2√x)

Und eine Frage nebenbei:

2√x = x^0.5 * x^0.5  = x¹ ?

---

Hallo Belfort,

ich freue mich, das ich helfen konnte :)

Also wenn man Dezimalzahlen lieber als Brüche schreibt, kann man schnell sehen, wie man Ausdrücke umformen kann.

Wir haben ja $$ 0.5=\frac {1}{2} $$ und $$ 0.5x^{-0,5}=\frac {1}{2}*\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt(x)} $$.

Und ja, das ist richtig.

---

Achsooooo, stimmt. Es so umzuformen, macht alles auch viel leichter als den Weg, den ich im Kopf hatte :D

Danke nochmal für nähere Erklärung :3

Answer 2

Nullstellen der Funktion:

(1 -x^2) *√x=0

->Satz vom Nullprodukt:

1 -x^2 =0

 -x^2 = -1

 x^2 = 1

x_1,2= ± 1

√x=0

x₃=0

Comments

Achso stimmt, das haben wir sogar so ähnlich schon einmal gemacht :D

Dankeschön <3

Answer 3

$$-2.5{ x }^{ 3/2 }+0.5{ x }^{ -1/2 }=0\\{ x }^{ -1/2 }(-2.5x^2+0.5)=0\\-2.5x^2=-0.5\\x^2=\frac { 1 }{ 5 }\\x=\pm\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } }\\$$

Comments

Achsooo, Dankeschön, wusste gar nicht, dass man auch so ausklammern darf :D

Und bei x^-0.5 kann ich ja dann einfach sagen, dass es für die keine NS gibt für diesen Term, dankeee