Nullstellen (Gebrochenrationale Funktion)

Question

leider komme ich nicht mehr weiter.

Ich habe die Funktion f(x) = (x^2 + x + 1) / (x+1)

f'(x) = (x(x+2)) / (x+1)^2

Ich würde gerne die Nullstellen von f'(x) bestimmen.

Hier bei handelt sich ja um eine Gebrochenrationale Funktion. Zähler Exponent = Nenner Exponent.

Wie rechne ich nun die Nullstellen aus von Gebrochenrationale Funktion, wenn der Zähler Exponent = Nenner Exponent ist?

(Bei Gebrochenrationale Funktion, wo der Zähler Exponent < Nenner Exponent ist, könnte ich doch nur die Nullstellen des Nenners auchrechnen, oder ist dies auch falsch?)

Über eine Antwort würde ich mich freuen. Und ein schönes Wochenende noch.

Euer Max! :)

Answer 1

f' ( x ) = ( x * ( x+2 ) ) / ( x +1)^2
Def Bereich : Division durch 0 vermeiden
( x + 1 ) ^2 = 0
x + 1 = 0
x = -1

D = ℝ \ { -1 }

Nullstelle : Zähler = 0, denn null durch irgendwas = 0

( x * ( x+2 ) ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
x + 2 = 0
x = -2

Hier als Beweis der Graph

Comments

Dankeschön! Also ist es nur bei Nullstellen wichtig den Zähler auszurechnen oder? Nullstellen im Nenner ist der Definitionsbereich den ich nicht einsetzen darf?

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Ja.
Es gibt noch den Spezialfall einer hebbaren Lücke.
mit 0 / 0. Der trifft bei diesem Fall nicht zu.

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Dann zeig´einmal ob du es verstanden hast
und rechne die Nullstellen, Definitionsbereich von f
aus.

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Gerne, es gibt keine Nullstellen da im Zähler bei der abc-Formel was negatives rauskommt. Und Definitionsbereich ist R ohne die -1 ?

Richtig ? :)

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Dann zeig´einmal ob du es verstanden hast

Du hast es selbst nicht verstanden.

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@max, richtig.

Hier noch der Graph des Zählers.

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Hallo Georg,

Dein Tipp für das Spiel heute abend?

Meiner wäre:

Deutschland - Schweden 2:1

PS:

Hab "sicherheitshalber" 100000 (geliehene Euro) auf Sieg von Schweden gesetzt.

Wenns klappt, bin ich morgen Millionär. :))

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20:30 Uhr bisher 0:0.
Ich prophezeie dir
Ob long, ob short, das Geld ist fort.

Answer 2

Ein Bruch wird null, wenn der Zähler null ist. Der Nenner darf nicht Null werden.

f'(x) = x·(x + 2)/(x + 1)^2 = 0

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt 0, wenn einer der Faktoren Null wird.

x·(x + 2) = 0 --> --> x = 0 oder x = -2

Comments

Vielen Dank, also muss ich beachten im Definitionsbereich das der Nenner nicht null werden darf, aber wenn ich Nullstellen ausrechne, dann rechne ich quasi vom Zähler die Nullstellen aus?

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Genau. Merksatz für das Heft:

Ein Bruch wird null, wenn der Zähler null ist. Der Nenner darf nie Null werden.