Wachstum von Bakterien kann man durch das Werfen von Münzen simulieren

Question

brauche paar Tipps bei einer Aufgabe, wie würdert ihr dort vorgehen und gibt es bei solch einer Art von Aufgaben ein System, das man auf andere Differntialgleichungs Aufgaben übertragen kann?

Wachstum von Bakterien kann man durch das Werfen von Münzen simulieren. Jede Münze stellt ein Bakterium dar. Man beginnt z.B. mit zwei Münzen. Fällt eine Münze auf "Kopf", so teilt sich das zugehörige Bakterium - man fügt einfach eine Münze hinzu. Mit der vergrößerten Bakterienzahl fährt man fort. Auf diese Weise nimmt die Zahl der Bakterien zu. Beschreiben Sie, wie sich die momentane Änderungsrate der Bakterienzahl verhält. Stellen Sie eine Differenzialgleichung auf und geben Sie die Lösung an. Welche Bakterienzahl wird man nach zehn Durchführungen etwa haben?

Comments

Ich habe gerade irgendwie einen Denkfehler.

Zuerst dachte ich

f'(x) = 0.5 * f(x)

Eine Lösung wäre

f(x) = 2 * e^{0.5 * x}

f(10) = 2 * e^{0.5 * 10} = 296.8 Münzen

Wenn ich das jetzt allerdings mit einer normalen Exponentialfunktion modelliere komme ich auf

f(10) = 2 * 1.5^10 = 115.3 Münzen

Wo ist mein Denkfehler?

Das Problem ist denke ich, dass die e-Funktion ein stetiges Wachstum modelliert. Aber wie korrigiert man das jetzt ?

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Der Mittelwertsatz ist ja nur ein Existenzsatz, also wird die Korrektur schwierig.

Für das diskrete Münzmodell gilt  f(n+1) = 1,5·f(n)
bzw. umgeformt  ( f(n+1) - f(n) ) / ( (n+1) - n )  =  0,5·f(n)

Links steht die Sekantensteigung einer kontinuierlichen Funktion, die du in deiner Differentialgleichung mit der Tangentensteigung am Anfang des Intervalls gleichsetzt, obwohl sie nach Mittelwertsatz doch nur gleich der Steigung an einer (vom Satz nicht bestimmten) Stelle im Intervall n ... n+1  ist.

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Ja. Das sehe ich auch so.

Aber die Aufgabe ist ja eine Differentialgleichung aufstellen, die das Problem beschreibt.

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Komme jetzt etwas spät, aber du hast genau die gleiche Lösung wie das Buch, jetzt verstehe ich nicht deine Frage?

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Naja die Lösung über die Differentialgleichung ist 296.8 Münzen.

Die Lösung über die Exponentialfunktion ist 115.3 Münzen.

Die Lösung der Differentialgleichung liegt also 296.8/115.3 - 1 = 1.5742 = 157.42% über dem richtigen Ergebnis. So wirklich zufrieden kann man mit so einer Lösung doch nicht sein. Auch wenn wir wissen woher die Abweichung kommt.