Q[X] linear unabhängig ist und mit Basis erweitern

Question

Ich weiß leider nicht genau was Linear unabhängig bei Polynom Ringen Bedeutet, dass diese "Vektoren" (Polynome) 0 Bilden ?

Comments

Nennen wir besagte Polynome \(f_1,f_2\)und\( f_3\). Dann sollst du zeigen, dass für \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb{Q} \)  gilt:$$ \alpha_1f_1 + \alpha_2f_2 + \alpha_3f_3 = 0 \Leftrightarrow \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0  $$
Das bedeutet es gibt nur eine triviale Linearkombination der 3 Vektoren für den Nullvektor.In deinem betrachteten Raum sind die Vektoren Polynome.

---

Um das zu lösen müsste ich dann eine Matrize darauf bilden und es dann versuchen zu Gaußen und dann würde ich sehen dass es nicht funktioniert, müsste ich es dann so beweisen ?

---

Es reduziert sich auf das Lösen eines Gleichungssystems (falls du das meinst), ja.

---

Ich bin mir grad unsicher für steht das X nochmal bei dem Polynomring, also muss ich lösen dass

$$3X - X^5 = 0 \land 4X + X^3=0 \land 5X-X^5-X^6 =0$$

---

Nein, das ist nicht das was ich geschrieben habe, sondern die Berechnung der  Nullstellen der einzelnen Polynome. Die sind hier nicht von Interesse. Das \(X\) steht für die Variable.

---

\begin{pmatrix} 3\alpha_1 & 0 & 0&0&\alpha_1&0&\color{RED} 0 \\ 4\alpha_2 & 0 & \alpha_2&0&0&0&\color{RED} 0 \\ 5\alpha_3 & 0 & 0&0&-\alpha_3&-\alpha_3 &\color{RED} 0\end{pmatrix}Rot steht für = 0 also für die 0 Spalte
Das Ding muss ich also dann lösen, wie soll ich dann herausfinden ob das keine Lösung hat?

---

Diese Matrix ist nicht zielführend. Es geht hier in erster Linie um die Alphas. Nach einem Koeffizientenvergleich bei der Gleichung aus meinem ersten Kommentar solltest du auf Gleichungen kommen wie:
$$ 3\alpha_1 + 4\alpha_2 + 5\alpha_4 = 0 $$
etc. Aus diesen Gleichungen sollte die Lösung eigentlich relativ schnell ersichtlich sein.

---

Ich sitze glaube ich gerade voll auf der Leitung, aber es ist nicht Lösbar weil ja kein Gegenstück zu der X^6 Vorhanden ist, und in der Matrizenform:

\begin{matrix} 3 & 4 & 5\\ 0 & 0 &  0\\ 0 & 1& 0\\ 0 & 0 &  0\\-1 & 0 &  -1\\0 & 0 &  -1\end{matrix}

Und in der Matrizen sind 0 Zeilen sind also sind sie Linear unabhängig.

Nur bin ich gerade etwas verwirrt, dass ich nicht weiß wie man das normal Linear lösen sollte.

und wie du auf den Term kommst =

$$3\alpha_1 + 4\alpha_2 + 5\alpha_3 = 0$$ //Gehe davon aus dass es $$\alpha_3$$ sein sollte und nicht $$\alpha_4$$

---

Ja sollte es :). Aus den Gleichungen die du erhalten hast geht doch hervor, dass alle Alphas gleich Null sind. Damit sind die Vektoren linear unabhängig. Die Nullzeilen brauchst du übrigens nicht.

Answer 1

linear unabhängig sind sie, wenn eine Linearkombination nur durch Koeffizienten 0 erzeugt werden kann (siehe oben).

Du hast hier Polynome vom Grad 6, 5, 3, die müssen unabhängig sein, das sagen Dir schon die Rechenregeln für Polynome. Du kannst Polynome vom Grad 3 und 5 so oft linear kombinieren, wie Du willst, Du wirst nie ein Polynom vom Grad 6 damit erzeugen können.

Entsprechend brauchst Du noch Polynome vom Grad 0, 1, 2, 4, um eine Basis zu bekommen.

Grüße,

M.B.