Konvergenz einer Reihe beweisen und Existenz des Limes zeigen.

Question

Zeigen Sie mit der fundamentalen Logarithmus-Ungleichung, dass ∑^∞_k=1 ((1/k)-log ((k+1)/k)) konvergiert.  Folgern Sie für H_n := ∑ⁿ_k=1 (1/k) die Existenz des Limes ϒ := lim_n→∞ (H_n - log n) ∈ [0,1].

Answer 1

$$\frac{1}{k}-\log\left(1+\frac{1}{k}\right)=O(k^{-2})$$

Ausserdem als Stichwort: Teleskopsumme.