Partialsummen: Existenz Grenzwert? Summe von (√(k - 1) - √k )

Question

ich habe eine kurze Frage : Und zwar soll ich begründet entscheiden . ob es der Grenzwert existieren kann:

Meine Reihe lautet wie folgt :

$${ lim }_{ n\rightarrow \infty  }\sum _{ k=1 }^{ n }{ \sqrt { k-1 } -\sqrt { k }  } $$

EDIT: Ich meinte :

$${ lim }_{ n\rightarrow \infty  }\sum _{ k=1 }^{ n }{ (\sqrt { k-1 } -\sqrt { k }  } )$$

Meine Idee war jetzt über die Partialsummenzerlegung die Reihe aufzuteilen in :

$${ lim }_{ n\rightarrow \infty  }\sum _{ k=1 }^{ n }{ \sqrt { k-1 } -{ lim }_{ n\rightarrow \infty  }\sum _{ k=1 }^{ n }{ \sqrt { k }  }  } $$

Und die beiden Partialsummen divergieren offensichtlich . Also kann die komplette Reihe keine Grenzwert haben.

Reicht das als um zu zeigen, dass die Reihe divergiert ? Oder hat einer eine Idee mit welchem Kriterium ich das zeigen kann ?

Comments

Es ist \( \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sqrt{k-1}-\sqrt{k} =  \left(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sqrt{k-1}\right)-\sqrt{k} \).

Meinst du vielleicht \( \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\sqrt{k-1}-\sqrt{k}\right) \)

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Ich miente :
$${ lim }_{ n\rightarrow \infty  }\sum _{ k=1 }^{ n }{ (\sqrt { k-1 } -\sqrt { k }  } )$$

Answer 1

Meist Erweitert man gemäß 3. binomische Formel

√(k - 1) - √k = (√(k - 1) - √k)·(√(k - 1) + √k) / (√(k - 1) + √k) = -1 / (√(k - 1) + √k)

Mache jetzt eine Abschätzung und vergleiche mit der Reihe 1/(2√x)

Comments

Meist Erweitert man

es sei denn, man erkennt dass es sich ganz einfach um eine Teleskopsumme mit s_n = -√n  handelt.

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Vielen Dank für den Hinweis. Ja. Das ganze über Teleskopsummen zu begründen ist noch viel einfacher. 

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Erstmal danke für den Tipp mit dem Binom ... Aber wäre es nicht besser wenn vergleiche :

$$\frac { -1 }{ \sqrt { k-1 } +\sqrt { k }  } \le \frac { 1 }{ 2*\sqrt { k }  } $$

dann habe ich doch eine Konvergente Majorante dass würde doch behaupten, das meine konvergiert und dass kann ja eigentlich nicht sein? Odr habe ich jetzt nen Brett vorm Kopf ??

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Konvergiert den 1/(2√k) ? Das kannst du ja nicht einfach so behaupten.

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Denke schon dass ist ja das gleiche wie : $$\frac { 1 }{ 2 } *\frac { 1 }{ \sqrt { k }  } \quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } *0\quad für\quad k\rightarrow \infty $$

Da √k ja gegen +∞ geht für k→∞ oder meintest du Die Rheihe $$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ 2*\sqrt { k }  }  } $$ weil die müsste ja divergieren anhand er Teleskopsumme ...?

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Jetzt bekommst du da mehrere Dinge durcheinander. Du weißt vermutlich nicht was eine Teleskopsumme ist und wann man die anwendet. Das ist auch nicht so schlimm. Ich hatte zuerst auch gar nicht mit der gerechnet.

Kannst du ordentlich begründen das

∑ (k = 1 bis ∞) (1 / √k)

divergiert. Und jetzt bitte ohne Teleskopsumme. Ansonsten darfst du alle Konvergenzkriterien für Reihen verwenden.

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Ja klar die Reihe ∑(k=1 bis ∞) 1/k ist eine Minorante und  divergiert ja auf jeden Fall das haben wir auch in der Vorlesung definiert. 

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Prima und

∑ (k = 1 bis ∞) (1 / 2√k) = 1/2 * ∑ (k = 1 bis ∞) (1 / √k)

Das divergiert also auch. Da ändert einfache Faktoren an den Summanden auch nichts.

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Alles klar .. aber müsste ich nicht im Zähler eine Minus eins stehen haben, sonst hätte ich doch eine Majorante und keine Minorante ? ( um zu zeigen , dass meine Ausgangsreihe divergiert )

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-1 / (√(k - 1) + √k)

Wenn wir zeigen wollen das es divergiert müssen wir eine Minorante nehmen. D.h. wir dürfen den Zähler vergrößern

-1 / (√k + √k) = -1 / (2√k)

oder hab ich mich da jetzt vertan?

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Ja genau das meinte ich ... Du hattest oben einmal geschrieben ich sollte mit der Reihe 1/2√k vergleichen .... Deswegen hatte ich nachgefragt aber jetzt ist alles klar vielen Dank fürs helfen und für die Geduld :D