Existenz des Grenzwerts von Reihen. Summe von ( (n!)/((2n)!))^n

Question

ich habe ein Problem und zwar möchte ich zeigen, dass es einen Grenzwert gibt zu der Reihe .

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { n! }{ (2n)! }  \right)  }^{ n } } $$

Beim Nullfolgenkriterium scheitere ich an dem ^n der Klammer und wenn ich es mit dem Majorantenkriterium versuche, lautet meine Majorante:

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { n! }{ (2n)! }  } $$    (da mein Ausdruck in der Klammmer offensichtlich <1 ist )

und nun möchte ich zeigen, dass meine Majorante konvergiert mit Hilfe des Qutientenkriteriums.....

Nur leider komme ich ab hier nicht weiter :

$$ \frac { (n+1)!*(2n)! }{ n!*(2*(n+1))! } \le q $$

Wäre cool wenn einer nen Tipp hätte.....

Answer 1

In der Klammer hoch n steht doch (gekürzt)

1/((n+1)(n+2).....(2n)) 

Das ist doch ziemlich bald (betragsmässig) kleiner als 1/n^2 . 

Comments

Ja dass war mir auch schon aufgefallen nur bei mir harperts mit dem Beweis dass es konvergiert .... einfach durch rechen gibt Punktverlust...

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(n!/(2n)!)^n = (1/((n+1)(n+2).....(2n)))^n < 1/n^2 für n≥ 2

cn:= 1/n^2 ist konvergente Majorante 

==> die Reihe konvergiert. q.e.d. 

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Das klingt plausibel :b Dankeschön