K heißt Teilkörper von ℝ genau dann, wenn alle Operationen in K abgeschlossen sind, also nicht aus K selbst herausführen. Man muss quasi die Körperaxiome alle prüfen und dabei besonders darauf eingehen, dass die entstehenden Zahlen alle Elemente von K sind.
Zu zeigen ist: K ist abgeschlossen bezüglich Addition, Multiplikation, Negation und Kehrwertbildung. Also:
I) a, b ∈ K ⇒ a+b ∈ K
II) a, b ∈ K ⇒ a·b ∈ K
III) a ∈ K ⇒ -a ∈ K
IV) a ∈ K ⇒ a-1 ∈ K
ad I): Seien a und b aus K, das heißt es existieren x1, x2 und y1, y2 ∈ ℚ mit
a = x1 + y1√2
b = x2 + y2√2
Dann gilt:
a+b = (x1 + y1√2) + (x2 + y2√2) = (x1 + x2) + (y1 + y2)√2
Da ℚ ein Körper und damit additiv abgeschlossen ist, gilt (x1+x2)∈ℚ und (y1+y2)∈ℚ. Also gilt a+b∈K.
ad II): a, b, x1, x2, y1, y2 wie oben. Dann gilt:
a·b = (x1 + y1√2) · (x2 + y2√2) = (x1x2 + 2y1y2) + (x1y2+ x2y1)√2
Da ℚ ein Körper ist und damit additiv und multiplikativ abgeschlossen ist, gilt (x1x2 + 2y1y2)∈ℚ und (x1y2+ x2y1)∈ℚ. Also gilt a·b ∈ K
ad III): Sei a∈K, mit x, y ∈ ℚ sodass gilt:
a = x + y√2
Jetzt ist:
-a = -(x + y√2) = -x - y√2 = (-x) + (-y)√2
Da ℚ ein Körper ist und somit bezüglich der Negation abgeschlossen ist, gilt (-x)∈ℚ und (-y)∈ℚ. Also gilt (-a)∈K.
ad IV): Sei a∈K, mit x, y ∈ ℚ sodass gilt:
a = x + y√2
Jetzt ist:
a-1 = 1/(x+y√2)
Erweitere den Bruch mit (x-y√2) sodass unten die dritte binomische Formel verwendet werden kann.
$$ \frac { x - y \sqrt { 2 } } { ( x + y \sqrt { 2 } ) ( x - y \sqrt { 2 } ) } = \frac { x - y \sqrt { 2 } } { x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } } = \frac { x } { x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } } + \frac { - y } { x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } } \sqrt { 2 } $$
Da ℚ ein Körper ist und damit additiv und multiplikativ abgeschlossen ist, gilt (x/(x²-2y²))∈ℚ und (-y/(x²-2y²))∈ℚ. Also gilt a-1∈K.
Da alle vier Punkte erfüllt sind, ist K also ein Teilkörper von ℝ.