Wie funktioniert die Substitution?

Question

wie wende ich die Substitution zur Nullstellenberechnung an?

Es handelt sich um folgende Funktion: f(x)=1/4 (x⁴ - 8x²+16)

Ich weiß, dass man bei der Substitution x² durch eine Variable, z.B. z, ersetzt.

Dann bekomme ich folgende Funktion: f(x)=1/4 (z²-8z+16).

Wende ich darauf dann die Mitternachtsformel an, komme ich auf keine Lösung, also D<0.

Laut Lösung des Lehrers (über binomische Formel) gibt es aber eine bzw. zwei Lösung(en).

Kann  mir jemand erklären, wo mein Fehler liegt?

Danke :)

Comments

f (z ) =1/4 (z²-8z+16)

Nullstelle

1/4 (z²-8z+16). = 0  | * 4
z^2 - 8*z + 16 = 0
( z - 4)^2 = 0
z - 4 = 0
z = 4

Rückersetzen
x^2 = z = 4
x = 2
x = -2

Answer 1

Wende ich darauf dann die Mitternachtsformel an, komme ich auf keine Lösung, also D<0.

Ich komme auf D = 0 .

Comments

Ja, ich jetzt auch.. hab meinen Fehler gefunden :D

Answer 2

z² - 8z + 16 = (z - 4)²     ←  2. binomische Formel 

also:

z² - 8z + 16 = 0    ⇔  z = 4

x² = 4   →  x₁ = 2  ;  x₂ = -2

Gruß Wolfgang

Answer 3

Lösungsweg ohne Substitution:

\( f(x)=\frac{1}{4} * (x^4 - 8x^2+16)\)

\( \frac{1}{4} * (x^4 - 8x^2+16)=0\)

\(  x^4 - 8x^2+16=0\)

\(  x^4 - 8x^2=-16\)

\(  (x^2 -4)=-16+16\)

\(  (x^2 - 4)^2=0\)

\( x_1=-2\) doppelte Nullstelle

\( x_2=2\) doppelte Nullstelle

Comments

Es geht auch ohne direkt:

x^4-8x^2+16 =0

(x^2+4)(x^2-4)= 0  , binomische Formel

x^2-4 = 0

x^2= 4

x= +- 2

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Deine zweite Zeile passt nicht. Siehe bei Wolfgang, der da halt nicht x² sondern z stehen hat.

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Welche binomische Formel soll das sein?

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Ich habe mich vertippt:

(x^2-4)(x^2-4) = 0