Question

Beweisen Sie, dass es außer der konstanten Funktion 0 keine artionale Funktion f mit f=f' geben kann.

Könnte man sagen dass für Polynome P, Q vom Grad > 0 eine rationale Funktion P/Q die Ableitung $$\frac { P'Q\quad -\quad PQ' }{ Q² } \quad \neq\quad \frac { P }{ Q } $$ da sich der Grad von P und Q oder nur Q nach der Ableitung verändert hat (gebrochenrationale funktion)

und für Polynome P vom Grad > 0, Q grad null die Ableitung P'≠P ist weil der grad von P kleiner nach der ableitung? (ganzrationale funktion)

ist und für Polynome P,Q vom Grad = 0 ohne dem Nullpolynom sind die Koeffizienten nicht alle gleich null und werden abgeleitet zu null also auch P/Q ≠ (P/Q)' (konstante funktion ohne null)

und für polynome P vom grad -∞ die nullpolynome die einzigen sind wo P=P' ist so dass alle koeffizienten null sind und abgeleitet wieder null sind? (konstante funktion der null)

was anderes ist mir leider nicht eingefallen dazu :( gibt es noch andere wege?

Comments

Hi, deine Überlegungen finde ich schon recht nützlich. Wenn \(P\) und \(Q\) ganzrationale Funktionen sind, dann lässt sich die Forderung aus der Aufgabenstellung so formulieren:

$$ \begin{aligned}f &= f' \\\,\\\frac { P }{ Q } &= \left(\frac { P }{ Q }\right)' \\\,\\\frac { P }{ Q } &= \frac { P'Q - PQ' }{ Q^2 } \\\,\\PQ &= P'Q - PQ' \\\,\\\end{aligned} $$

Jetzt könnte man Gradüberlegungen anstellen.

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ein anderer Beweisweg wurde hier gewählt:

https://www.mathelounge.de/400297/beweise-konstante-funktion-ist-einzige-rationale-funktion

Answer 1

> da sich der Grad von P und Q oder nur Q nach der Ableitung verändert hat (gebrochenrationale funktion)

Nein. Wenn du P vom Grad n>0 ableitest, dann ist zwar der Grad dieser Ableitung um 1 niedrieger als der Grad von P, aber der Grad von P ist immer noch n.