Stetige Funktion f:ℝ→ℝ mit nur rationalen Funktionswerten → f ≡ const.

Question

Aufgabe:

Eine stetige Funktion f:ℝ→ℝ habe nur rationale Funktionswerte. Zeigen Sie, dass dann f ≡ const. gilt.

Problem/Ansatz:

Ich kann mit der Aufgabe gar nichts anfangen.

Answer 1

In jeder beliebig kleinen Umgebung eines Punktes liegen rationale und irrationale Zahlen. Wenn die Funktion nicht konstant wäre, gäbe es also auch irrationale Funktionswerte.

Comments

Mit dieser Antwort konnte ich oswalds verstehen.

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Dann solltest du oswald einen Pluspunkt geben.

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Wie vergebe ich denn "Pluspunkte"? Die "Daumen hoch" sind bei mir ausgegraut.

Answer 2

y=f(x)=konstant ist für mich eine waagerechte Gerade,die parallel zur x-Achse liegt.

wenn z.Bsp.: y=f(x)=0,5*x²  y=f(x)=konstant ? Wie soll das geh´n ?

Comments

Lies doch einfach mal die Aufgabe, und dann beantworte dir folgende Frage:

Wenn gemäß deines Beispiels f(x)=0,5*x² WÄRE - wie kann dann f(x) nur rationale (und damit keinerlei irrationale) Funktionswerte haben?

Answer 3

Seien x₁, x₂ ∈ ℝ mit f(x₁) < f(x₂). Sei y ∈ ℝ\ℚ mit f(x₁) < y < f(x₂). Ein solches y existiert, weil ℝ\ℚ dicht in ℝ liegt.

Laut dem Zwischenwertsatz gibt es ein x ∈ (x₁, x₂) mit f(x) = y falls x₁ < x₂.

Comments

Ich verstehe leider auch mit deiner Lösung nicht was die Aufgabe von mir verlangt.

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Rationale Funktionswerte sind nicht rationale Funktionen.

Funktionswerte leben in der Zielmenge.

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Hatte ich gemerkt und schon verbessert.

Mit der Antwort von MontyPython habe ich es verstanden.