Größtmöglicher Definitionsbereich einer Funktion, Monotonie, Beschränkheit

Question

Angabe: f(x)=2/3x-4       g(x)=-1/4x² +1

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion und geben Sie die jeweilige Bildmenge an!

b) Untersuchen Sie für alle Funktionen einer Skizze Monotonie, Beschränktheit und das Verhalten im Unendlichen.

c) Welcher diese Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv?

Answer 1

f(x) = 2/3 x - 4

D_max = ℝ    denn man kann jede reelle Zahl für x einsetzen, ohne dass es beim Ausrechnungen Probleme gibt.

Bildmenge = ℝ denn bei den Punkten von  f  kommt jede reelle Zahl als y-Wert vor

Die Funktion ist  streng monoton steigend  denn ein größerer x-Wert hat immer auch einen größeren y-Wert

f ist weder nach unten noch nach oben beschränkt, weil die Funktionswerte y beliebig groß bzw. klein werden.

lim_{x→ ∞}  f(x)  =  ∞   ;   lim_{x→ - ∞}    f(x)  =  - ∞

f/x) = 1/4 x² + 1  

D_max = ℝ    denn man kann jede reelle Zahl für x einsetzen, ohne dass es beim Ausrechnungen Probleme gibt.

Bildmenge = [ 1/4 ; ∞ [   denn bei den Punkten von  f  kommt jede reelle Zahl ≥ 1/4 als y-Wert vor.

Die Parabel hat ihren Scheitelpunkt (tiefster Punkt)  in (0|1).  Sie  ist  streng monoton fallend in ] - ∞ ; 1/4 ] und  streng monoton steigend  in [ 1/4 ; ∞ [

f ist durch y = 1/4  nach unten beschränkt. Nach oben ist sie nicht beschränkt.

lim_x→ ∞  f(x)   =   lim_{x→ - ∞}    f(x)  =  ∞  

Gruß Wolfgang