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Aufgabe: Wir haben eine Abbildung, die von den natürlichen Zahlen auf die natürlichen Zahlen abbildet. mit der Funktion f(x)=3x


Man soll zeigen, dass diese Injektiv, aber nicht surjektiv ist?


Problem/Ansatz:

Für mich scheint diese Funktion sowohl surjektiv als auch injektiv zu sein, wie soll ich dann das gegenteil Zeigen?

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Welches x erfüllt denn f(x)=2?

1 Antwort

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir betrachten die Funktion: f ⁣ : NN,f(n)=3n\quad f\colon\mathbb N\to\mathbb N\,,\,f(n)=3n

Injektivität

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Wir nehmen an, es gibt zwei Argumente a,bNa,b\in\mathbb N, die dasselbe Ziel haben:f(a)=f(b)    3a=3b    a=bf(a)=f(b)\implies3a=3b\implies a=bEs gibt also keine 2 verschiedenen Argumente mit demselben Ziehl, daher wird jedes Ziel höchstens 1-mal getroffen und die Funktion ist injektiv.

Surjektivität

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird. Da die Zahl 2N2\in\mathbb N ein Element der Zielmenge ist, müsste es ein Argument nNn\in\mathbb N geben, sodass:2=!f(n)=3n    n=23∉N2\stackrel!=f(n)=3n\implies n=\frac23\not\in\mathbb NEs gibt also kein Element nNn\in\mathbb N aus der Definitionsmenge, dass die 22 trifft. Daher ist die Funktion nicht surjektiv.

Avatar von 152 k 🚀

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