Man soll zeigen, dass diese Injektiv, aber nicht surjektiv ist?

Question

Aufgabe: Wir haben eine Abbildung, die von den natürlichen Zahlen auf die natürlichen Zahlen abbildet. mit der Funktion f(x)=3x

Man soll zeigen, dass diese Injektiv, aber nicht surjektiv ist?

Problem/Ansatz:

Für mich scheint diese Funktion sowohl surjektiv als auch injektiv zu sein, wie soll ich dann das gegenteil Zeigen?

Comments

Welches x erfüllt denn f(x)=2?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir betrachten die Funktion: \(\quad f\colon\mathbb N\to\mathbb N\,,\,f(n)=3n\)

Injektivität

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Wir nehmen an, es gibt zwei Argumente \(a,b\in\mathbb N\), die dasselbe Ziel haben:$$f(a)=f(b)\implies3a=3b\implies a=b$$Es gibt also keine 2 verschiedenen Argumente mit demselben Ziehl, daher wird jedes Ziel höchstens 1-mal getroffen und die Funktion ist injektiv.

Surjektivität

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird. Da die Zahl \(2\in\mathbb N\) ein Element der Zielmenge ist, müsste es ein Argument \(n\in\mathbb N\) geben, sodass:$$2\stackrel!=f(n)=3n\implies n=\frac23\not\in\mathbb N$$Es gibt also kein Element \(n\in\mathbb N\) aus der Definitionsmenge, dass die \(2\) trifft. Daher ist die Funktion nicht surjektiv.