Dimension bestimmen: ℝ^4/U, wobei U = { (a, a, 0, 0)| a ∈ ℝ}

Question

ℝ⁴/U, wobei U = { (a, a, 0, 0)| a ∈ ℝ}

Dimension bestimmen, wie mache ich das hier?

Answer 1

ℝ⁴/U, wobei U = { (a, a, 0, 0)| a ∈ ℝ}   ist ja die Menge

aller  x + U   mit x ∈ IR⁴  .  Die kannst du alle erzeugen durch 

( 1,0,0,0) + U    ;  

( 1  1   1 0 ) + U

( 1  1   0  1 )  + U

Denn wenn du irgendeine Klasse  (  n , m , k , i ) + U erzeugen willst, geht das jamit(n+m) *   ( ( 1,0,0,0) + U )     +  k * ( ( 1  1   1 0 ) + U )  +  i * (( 1  1   0  1 )  + U  )denn das  (  n , m , k , i ) =

(n-m)  * ( 1,0,0,0) + (m,m ,0 , 0 )

+   k *  ( 1  1   1 0 ) +( - k , -k , 0 ,0  ) 

+    i * ( 1  1   0  1 )  + ( -i  , -i , 0 0   )Außerdem sind die drei Klassen lin. unabh.

[ Beweis über 

m*  ( ( 1,0,0,0) + U )     +  n * ( ( 1  1   1 0 ) + U )  +  i * (( 1  1   0  1 )  + U  ) = (0,0,0,0)+U

⇒ m = n = i = 0   ]also dim = 3.

Comments

Kann deinem Beweis nicht so ganz folgen, wie kommt man auf:

Denn wenn du irgendeine Klasse  (  n , m , k , i ) + U erzeugen willst, geht das jamit(n+m) *   ( ( 1,0,0,0) + U )     +  k * ( ( 1  1   1 0 ) + U )  +  i * (( 1  1   0  1 )  + U  )denn das  (  n , m , k , i ) = 

(n-m)  * ( 1,0,0,0) + (m,m ,0 , 0 ) 

+   k *  ( 1  1   1 0 ) +( - k , -k , 0 ,0  )  

+    i * ( 1  1   0  1 )  + ( -i  , -i , 0 0   )Außerdem sind die drei Klassen lin. unabh. 

[ Beweis über  

m*  ( ( 1,0,0,0) + U )     +  n * ( ( 1  1   1 0 ) + U )  +  i * (( 1  1   0  1 )  + U  ) = (0,0,0,0)+U 

⇒ m = n = i = 0   ]also dim = 3.