Question

Zeigen sie dass B=(1+t, 1+t²,t²,t+t³) eine basis von ℝ[t]₃(a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³) ist.

Bitte um hilfe

Comments

Deine Notation hilft einem hier nicht wirklich weiter. Ich vermute mal es ist gemeint: Eine Basis von 
$$ \mathbb{R}[t]_3 := \{ a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3 | a_i \in \mathbb{R}, \ \ i\in \{0, 1,2,3\}\} $$
In Zukunft auf Copy&Paste verzichten und lieber sauber abtippen.

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Das war kein copy and paste

Habe die frage mit dem handy erstellt deswegen sieht das so komisch aus

a_i ∈ ℝ , i ∈N{0,1,2,3} steht nicht auf dem blatt kann man aber denke ich nachvollziehen

Answer 1

Hallo cagcet,

jeder Term der Form  a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³  lässt sich als Linearkombination von  {1+t, 1+t²,t²,t+t³ }

darstellen: 

α * (1+t) + β  * (1+t²) + γ * t² + δ * (1+t³)  =  (α+β+δ) + α * t + (β+γ) * t² + δ * t³

weil das LGS   α+β+δ = a₀  ∧  α = a₁  ∧   β+γ = a₂  ∧  δ = a₃   die  Lösung

α = a₁  ;  δ = a_{3  ;}    β = a₀ - a₃ - a₁   ;   γ = a₂ - β = a₂ - a₀ + a₃ + a₁    hat.

Also ist B ein Erzeugendensystem und wegen dim( ℝ[t]₃ ) = |B| = 4 eine Basis von ℝ[t]₃

Gruß Wolfgang

Comments

hey könntest du mir vill damit auch weiter helfen?

zeigen sie, dass C eine Basis von ℝ^2x2 ist:

ich weiß gar nicht wie man hier matrizen eingibt aufjedenfall sind das 4*2x2 matrizen.

c= (1 1),  (1  0),  (0 0),  (0 1)
     (0 0 ), (1 0),   (1 0),  (0 1)

und ℝ^2x2 :  (a₀-2a₂+2a3               -a₀-2a₁+2a₂+3a₃)
                  (3a₀-2a₁+a₂+2a₃      -2a₀+3a₁+2a₂+2a₃)
also ich habe die lineare unabhängigket  von c bewiesen, indem ich a=b=c=d=0 gemacht habe:

(a+b)
(a+c) =0  & daraus folgte halt a=b=c=d=0  und somit sind Matrizen linear unabhängig.
(b+c)
(d)

das gleiche mach ich jetzt auch mit R^2x2  ich nutze aber a b c d statt a0 etc um es mir zu vereinfachen.
(a-2c+2d)
(3a+2b+2c+2d)
(-a-2b+2c+3d) =0&daraus folgte halt a=b=c=d=0  &somit sind Matrizen lin. unabhängig.
(-2a+3b+2c+2d)

was muss ich jetzt machen? die beiden ineinander setzen?

Answer 2

Da das schon 4 Stück sind, musst du nur die lin. Un abh.

beweisen.

Also  a*(1+t) + b*(1+t²) + c*t² + d*(t+t³) = 0

geht nur für a=b=c=d = 0

dazu brauchst du nur anders zu sortieren

(a+b) + ( a+d)*t + ( b+c)*t² + d*t₃ = 0

also   ab=0   und  a+d=0    und b+c=0   und d=0

gibt also  a=b=c=d = 0