$$\rho:=\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\bigg | \underbrace{\frac{n+3^n}{n^2}}_{>0} \bigg |}=\frac{\sqrt[n]{n+3^n}}{\sqrt[n]{n^2}}=\frac{\sqrt[n]{3^n\left(1+\frac{n}{3^n}\right)}}{\sqrt[n]{n^2}}=\frac{3\cdot\sqrt[n]{1+\frac{n}{3^n}}}{\sqrt[n]{n^2}}\overset{n\to \infty}\longrightarrow \frac{3\cdot\sqrt{1+0}}{\sqrt{1}}=3 \Longrightarrow r=\frac{1}{3}$$
