Anwendungsaufgabe Extremprobleme

Question

Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich gar nicht weiterkomme. Ich weiß im Allgemeinen wie das alles funktioniert, mit Haupt- und Nebenfunktion und -bedingung. Jetzt geht es um folgende Aufgabe:

Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit unten angesetztem Halbkreis. Wählen Sie die Maße des Rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang u des Querschnitts des Kanals sein Flächeninhalt möglichst groß wird.

Das Komische daran ist schon, dass kein Umfang gegeben ist. Ich habe mir dafür einfach mal 180m für u ausgedacht.

HB: A = a*b + 1/2*π*(a/2)^2

NB: u = 180m = 2(a+b) + 1/2πa

Dann stelle ich die Nebenbedingung nach b um, wobei bei mir gerundet -1,79a rauskommt. Das setze ich dann in die HB ein und erhalte -1,79a°2 + (πa^2)/8 . 

Weiter geht es mit der 1. Ableitung von A: -3,57a + (πa)/4, die ich dann 0 setze. Da kommt dann a=0 raus. Das kann ja aber irgendwie nicht sein.

Jetzt die Frage: Wie löse ich diese Aufgabe komplett?

Comments

Wählen Sie die Maße des Rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang U des
Querschnitts des Kanals sein Flächeninhalt möglichst groß wird.
a ist abhängig von U.

b kannst du auch noch ausrechnen.

Answer 1

HB: A = a*b + 1/2*π*(a/2)²

NB: u = a+2b + 1/2πa Zum Umfang gehört die Seite a nur einmal.
"Dann stelle ich die Nebenbedingung nach b um."

b=u/2-πa/4-a/2

"Das setze ich dann in die HB ein und erhalte:"

A_u(a) = a*( u/2-πa/4-a/2)+ 1/2*π*(a/2)².

Dies ist eine Funktion von a mit den Parameter u.

"Weiter geht es mit der 1. Ableitung" von A_u(a). (Zuvor noch vereinfachen)

Den Parameter u kann man, solange es erforderlich ist, mitschleppen.

Comments

Vielen Dank erst einmal. Ich weiß dann leider trotzdem nicht wie es weitergeht. Kannst du mir bis zum Ende die Lösung vorrechnen bitte? Also mit Lösungsweg, damit ich es auch verstehe. Das sind mir alles zu viele Umformungen, da fehlt es bei mir teilweise an Grundlagen.

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A_u(a) vereinfacht: A_u(a)=au/2-πa²/8-a²/2. Das abgeleitet: A'_u(a)=u/2-πa/4-a und davon die Nullstelle a=2u/(π+4). Das in b=u/2-πa/4-a/2 eingesetzt, ergibt b=u/(π+4). Unabhägig vom Umfang muss a doppelt so lang gewählt werden, wie b.