Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=(x^2-2x+a)/(x-1)^2

Question

a) Gib den maximalen Definitionsbereich von fa an. Für welchen Parameterwert a1 lässt sich die Definitionslücke durch kürzen beheben? Liegt für anderen Funktionen ein Pol mit oder ohne Vorzeichenwechsel vor?

b)Zeige dass sich fa(x) in der Form fa(x)=1+(a-1)/(x-1)^2 schreiben lässt.

c) Berechne die 1.Ableitung fa´(x) und begründe damit, dass der Graph der Funktion fa keinen Extrempunkt hat.

Answer 1

Hi,

für die Nachwelt:

a) Für a gibt es keine Problemstelle, daher a ∈ ℝ. Für a = 1 haben wir eine hebbare Definitionslücke.

Es liegt kein Vorzeichenwechsel vor, da der Nenner eine gerade Vielfachheit besitzt.

b) Man kann den Zähler schreiben zu: (x^2-2x+1-1+a) = (x-1)^2 + (a-1)

Dann nur noch den Bruch splitten und man kommt auf das Gewünschte, nachdem man gekürzt hat.

c) Ableiten mit der vereinfachten Form von f(x)

f'(x) = (a-1)*(-2)/(x-1)^3

Es gibt kein x, für welches die Ableitung 0 wird. Folglich haben wir auch kein Extremum, denn dafür bräuchten wir f'(x) = 0.

Grüße

Comments

Es liegt kein Vorzeichenwechsel vor, da der Nenner eine gerade Vielfachheit besitzt.

Das gilt aber nicht für alle a.

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Die Einschränkung gibt es schon in der Fragestellung ;).

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Das meinte ich nicht; aber ich habe mich ohnehin verrechnet, daher ist meine Anmerkung dennoch falsch.