Geometrische Reihe: $$\sum_{k=0}^\infty q^k,\quad q\in \mathbb C,\quad |q|<1.$$
Cauchyprodukt: $$\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot \sum_{k=0}^\infty b_k=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.$$
Cauchyprodukt einer geometrischen Reihe mit sich selbst (\(a_n=q^n, b_k=q^k\)): $$\sum_{n=0}^\infty q^n \cdot \sum_{k=0}^\infty q^k = \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n q^k q^{n-k}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n q^n=\sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot q^n=\sum_{n=1}^\infty n\cdot q^{n-1}.$$
Was ist also der Wert einer "abgeleiteten geometrischen Reihe"?
$$\frac{\text d}{\text dq}\left(\sum_{n=0}^\infty q^n\right)=\sum_{n=0}^\infty n\cdot q^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty n\cdot q^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty q^n \cdot \sum_{k=0}^\infty q^k = \frac1{1-q}\cdot\frac1{1-q}=\frac1{(1-q)^2}.$$
Dass die erste Gleichheit gilt, dafür braucht man komplexe Analysis, aber das war ja auch nicht zu zeigen. Das war mehr als Kontext gedacht, was mit "abgeleiteter" geometrischer Reihe gemeint ist. Die zweite Gleichheit gilt, weil für \(n=0\) der Summand \(n\cdot q^{n-1}\) Null ist, die dritte haben wir gerade gezeigt und die vierte schließlich sollte aus einem Grundlagenkurs für Analysis bekannt sein. Die letzte ist dann offensichtlich.
