Kugelgleichung anhand von Radius, Punkt und Ebene bestimmen

Question

r=42, A(6/1/0), B(0/-3/7), C(-3/-3/1), P(10/y/8)

Kugelgleichung bestimmen von Kugel mit Radius r, muss ebene ABC in P berühren

Answer 1

das sind recht häßliche Zahlen . Ich würde das nicht zu Fuß ausrechnen wollen:

P: liegt auf einer Geraden g(t)=(10,t,8)

Bestimme Ebene ABC: E_1: (4 * x) - (19 / 2 * y) - (2 * z) - 29 / 2 = 0

und den Schnittpunkt Po:=(10, 1, 8) mit der Ebene E_1 

Der Mittelpunkt der Kugeln liegt dann auf einer Geraden m(t) durch Po in Richtung des Normalenvektors der Ebene E_1 wegen Po Berührungpunkt senkrecht zum Mittelpunkt.

Kugel K: ( (x,y,z) - M )^2 = r^2

d.h. P € K, M=m(t): ( P - m(t) )^2 - 42^2 = 0 => t=+-2

K_1:=(x - 26)^2 + (y + 37)^2 + z^2 = 1764}

K_2:=(x + 6)^2 + (y - 39)^2 + (z - 16)^2 = 1764

Answer 2

n = AB x AC = [-6, -4, 7] ⨯ [-9, -4, 1] = [24, -57, -12] = 3·[8, -19, -4]

E: 8·x - 19·y - 4·z = 29

8·10 - 19·y - 4·8 = 29 --> y = 1

M1 = [10, 1, 8] - 42/√(8^2 + 19^2 + 4^2) * [8, -19, -4] = [-6, 39, 16]

M2 = [10, 1, 8] + 42/√(8^2 + 19^2 + 4^2) * [8, -19, -4] = [26, -37, 0]

K1: (x + 6)^2 + (y - 39)^2 + (z - 16)^2 = 42^2

K1: (x - 26)^2 + (y + 37)^2 + (z)^2 = 42^2