Lagrange Funktion Extremstellen berechnen.

Question

Aufgabe:

Die Funktion

\( F\left(x_{1}, x_{2}\right)=37 \cdot x_{1}+59 \cdot x_{2} \)

besitzt unter der Nebenbedingung

\( 64 \cdot {x_{1}}^{2}+1 \cdot {x_{2}}^{2}=64 \)

zwei lokale Extremstellen. Bezeichne \( \left(a_{1}, a_{2}\right) \) jene Extremstelle, in der \( F \) den größeren Wert annimmt, und \( \left(b_{1}, b_{2}\right) \) jene Extremstelle, in der \( F \) den kleineren Wert annimmt.

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

a. Der Lagrange-Multiplikator beträgt \( |1.85| . \)
b. Es gilt \( F\left(b_{1}, b_{2}\right)=-473.45 \)
c. Es gilt \( \left|b_{2}\right|=7.98 \).
d. Keine der anderen Antwortmoglichkeiten trifft zu.
e. Es gilt \( \left|a_{1}\right|=0.08 \).

Answer 1

Die Lagrange-Funktion lautet \(L(x_1,x_2,\lambda)=F(x_1,x_2) + \lambda \cdot N\) mit \(N=64{x_1}^2+{x_2}^2-64=0\). Also $$L(x_1,x_2,\lambda)=37x_1+59x_2+\lambda(64{x_1}^2+{x_2}^2-64)$$ Ableiten nach \(x_1\) und \(x_2\) und Nullsetzen ergibt: $$\frac{\delta L}{\delta x_1}=37 + 128 x_1\lambda=0 \quad \text{bzw.:} \quad x_1=\frac{-37}{128 \lambda}$$ $$\frac{\delta L}{\delta x_2}=59+2x_2\lambda=0 \quad \text{bzw.} \quad x_2=\frac{-59}{2 \lambda}$$ Einsetzen in die Nebenbedingung ergibt $$64\left( \frac{-37}{128 \lambda}\right)^2+\left( \frac{-59}{2 \lambda}\right)^2-64=0$$ $$37^2+64\cdot59^2-64\cdot 256 \lambda^2=0$$ $$|\lambda|\approx 3,70$$ und damit ist \( (b_1,b_2)\approx(-0,07815/-7,976) \) und \( (a_1,a_2)\approx(0,07815/7,976) \) und \(F(b)\approx-473,45\) sowie \(F(a)\approx 473,45\)

Demnach ist b, c und e richtig.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank,

Sie haben mir damit sehr geholfen!

LG