lagrange Funktion mit Nebenbedingung

Question

Die Funktion

F( x1 , x2 )=59· x1 +65· x2

besitzt unter der Nebenbedingung

x1 2 + x2 2 =36

zwei lokale Extremstellen. Bezeichne ( a1 , a2 ) jene Extremstelle, in der F den größeren Wert annimmt, und ( b1 , b2 ) jene Extremstelle, in der F den kleineren Wert annimmt. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
a. Es gilt | b2 |=4.44. b. Es gilt | b1 |=6.05. c. Es gilt F( a1 , a2 )=-526.70. d. Der Lagrange-Multiplikator beträgt |3.66|. e. Keine der anderen Anwortmöglichkeiten trifft zu.

Comments

Meinst du   x₁² + x₂² = 36  ^?

Answer 1

ich schreibe  x = x₁  ,   y = x₂    und  a = λ

F(x,y) = 59·x + 65·y

L(x,y,a) = 59·x + 65·y + a·(36 - x² - y²)

L_x(x,y,a)  =  59 - 2·a·x  =  0

L_y(x,y,a)  =  65 - 2·a·y  =  0

L_a(x,y,a)  =  - x² - y² + 36  =  0

Das Gleichungssystem hat die beiden Lösungen:

               x = - 4.032633556   ∧   y = - 4.442731884    ∧   a = - 7.315318782

               x = 4.032633556    ∧   y = 4.442731884     ∧    a = 7.315318782

(a₁ , a₂ )   ≈   ( 4.03 ,  4.44 )         Extremstelle mit größerem Funktionswert

(b₁ , b₂ )   ≈   ( -4.03 ; - 4.44 )      Extremstelle mit  kleinerem  Funktionswert

F( 4.032633556 , 4.442731884  ) ≈  526.7  ≠  - 526.7 

nur a)  sollte also wahr sein

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang, könntest Du mir bei meiner Aufgabe vielleicht auch helfen? Wäre sehr dankbar!

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Diese Aufgabe verläuft völlig analog zu meiner Antwort.

Vielleicht sollten wir besser mal klären, was du daran nicht verstehst!

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Hallo Wolfgang, bei meiner Aufgabe komme ich auf einen Langrange Multiplikator von 7,384762841 also gerundet auf 7,39 also stimmt die antwort nicht? oder habe ich mich vertan? :)

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der Lagrangefaktor λ hat  bei beiden Extrempunkten verschiedenes Vorzeichen:

  λ  ≈ ± 7,39    →  | λ | = 7,39  

In der Frage steht bei b)      λ  =  | 7,38 |  =  7,38   (die 8 ist ein Rundungsfehler) 

Ich denke, die meinen hier "richtig",  kann es dir aber leider nicht garantieren  :-)

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Hallo Wolfgang.. ich habe eine sehr ähnliche Aufgabe und habe die Funktionen aufgestellt..Jedoch wäre nach meinen Berechnungen keine der Antwortmöglichkeiten richtig. Ich habe das probiert, aber es war falsch. Für a1 und a2 bekomme ich (1,64 ; 2,5688) raus.. Das kann also nicht stimmen wenn eine der Antwortmöglichkeiten richtig sein muss.. Wo habe ich mich verrechnet? Hoffe du kannst mir helfen.. Morgen ist Abgabefrist und habe nur noch einen Versuch..

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Wo habe ich mich verrechnet?

Ohne Rechnung kann dir das hier keiner sagen. Außer er ist ein Hellseher.

Aber damit du beruhigt schlafen kannst hier die richtige Lösung.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%5BD%5B37x%2B62y%2Ba*(16x%5E2%2B64y%5E2-1024),x%5D%3D0,D%5B37x%2B62y%2Ba*(16x%5E2%2B64y%5E2-1024),y%5D%3D0,D%5B37x%2B62y%2Ba*(16x%5E2%2B64y%5E2-1024),a%5D%3D0%5D

Es sind genau 2 Antworten richtig.

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Dankesehr, habe jetzt auch meinen Fehler gefunden.. Habe lediglich die Gleichungen falsch aufgelöst

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Hallo sigma,

Könntest du mir eventuell meine auch mit wolframalpha kurz durchrechnen, wäre dir sehr dankbar bin am verzweifeln!