Verständnisfragen zu einer Definition: Abstand eines Punktes

Question

Folgendes wurde in der Vorlesung definiert (um den Abstand eines Punktes P mit dem Ortsvektor p im R^n zu einer Ursprungsgerade g={λv|λ∈R} zu berechnen):

d(P,g)=min{|p-λv|, λ∈R} und dann kommt eine Rechnung:

|p-λv|^2=<p-λv,p-λv>=<p,p>-2λ<p,v>+p-λ^2<v,v>

Nächstes Stichwort "Minimum": 2λ₀<v,v> - 2<v,p>=0 ⇔ λ₀=<v,p>/<v,v>  und genau den letzten Schritt verstehe ich nicht, wie kommt man auf den rot markierten Teil der Gleichung ?

Ich weiß, dass wir für dieses λ₀ das Minimum(bzw. den minimalen Abstand vom Punkt zur Gerade) beim einsetzen erhalten, aber verstehe nicht wie λ₀ ermittelt wurde..

Außerdem: Warum wird |p-λv| quadriert, wofür macht man diese Rechnung überhaupt? Die Nutzung der binomischen Formel ist mir klar...

Hoffentlich, kann mir jemand die beiden Fragen beantworten. Danke, fürs Lesen oder sogar für deine Antwort :)

Answer 1

Hallo Gast,

machen wir es doch mal anders herum:

1. Warum wird |p-λv| quadriert, wofür macht man diese Rechnung überhaupt?

Da stecken meines Erachtens nach zwei Hauptüberlegungen dahinter:

a) Bei der Norm handelt es sich um eine Funktion die auf die nichtnegativen reellen Zahlen abbildet, Das Lambda minimiert diese Funktion genau dann wenn es auch das Quadrat der Funktion minimiert.

b) Möchte man hier mit dem Skalarprodukt weiterrechnen lohnt sich die Quadrierung, da dadurch die Wurzel wegfällt (siehe Zusammenhang zwischen hier verwendeter Norm und Skalarprodukt).

2. Nächstes Stichwort "Minimum": 2λ₀<v,v> - 2<v,p>=0 ⇔ λ₀=<v,p>/<v,v>  und genau den letzten Schritt verstehe ich nicht, wie kommt man auf den rot markierten Teil der Gleichung ? 

Betrachte für gegebene \(p,v \in \mathbb{R}^n, v \neq 0\) die Funktion: $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(\lambda) = \langle p,p\rangle - 2\lambda \langle v,p \rangle + \lambda^2 \langle v,v \rangle $$. Das ist eine nach oben geöffnete Parabel. Um das Minimum zu bestimmen kann man die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen.

Gruß,

Answer 2

\(|p-\lambda v|\) wird quadriert, weil sich unquadriert da nur schlecht mit rechnen laesst. Was rauskommt, ist eine qudratische Funktion in \(\lambda\), die minimiert werden soll. Du weisst doch, wie man das macht, oder?