Differenz von einer Folge bilden

Question

kann mir bitte jemand im Detail erklären, wie ich eine Differenz von der Folge a_n = n+2 / n+1 bilden muss, damit ich zeigen kann, dass sie streng monoton fallend ist.

Außer das die Formel a_n+1 - an benutzt werden muss - verstehe ich das leider nicht.

Answer 1

Du meinst bestimmt:

Differenzenfolge von der Folge a_n = (n+2) /( n+1) bilden muss, damit ich zeigen kann, dass sie streng monoton fallend ist.

a_(1) = 3/2

a_(2) = 4/3

a_(3) = 5/4

a_(4) = 6/5

Außer das die Formel d_(n) = a_n+1 - an benutzt werden muss

d_(1) = a_(2) - a_(1) = 4/3 - 3/2 = ....  bruchrechnen

d_(2) = a_(3) - a_(2) = 5/4 - 4/3 = ....

usw. 

Allgemein

d_(n) = a_n+1 - an 

=  (n+1+2) /( n+1+1) - (n+2) /( n+1)  

=  (n+3) /( n+2) - (n+2) /( n+1) 

Hier nun bei Bedarf auch noch die beiden Brüche subtrahieren und das Ergebnis vereinfachen, wenn du die ganze Fragestellung angegeben hast.

Answer 2

mit Bruchrechnung, also Hauptnenner bilden usw.:

$$ { a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=\frac { n+3 }{ n+2 }-\frac { n+2 }{ n+1 }\\=\frac { (n+3)(n+1)-(n+2)^2 }{ (n+2)(n+1) }\\=\frac { n^2+4n+3-n^2-4n-4 }{ (n+2)(n+1) }\\=\frac { -1}{ (n+2)(n+1) }<0 $$