Bestimme lineare Abbildung von R^2 nach R^2 nicht injektiv und f((1|0)) = (2|0)

Question

 Bestimme lineare Abbildungen von R^2 nach R^2?

Existieren keine, genau eine oder mehrere?

Beweise!

Answer 1

Nimm dazu noch f((0|1)) = (2|0), dann ist f nicht injektiv, weil 2 unterschiedlichen Ausgangswerten derselbe Funktionswert zugeordnet wird. (0|1) konnte hier mehr oder weniger willkürlich gewählt werden.

Allgemein für x, y € R macht deine Funktion Folgendes:

f((x|y)) = f((x|0)) + f((0|y)) =x(f((1|0))) + y f((0|1))

x(1|0) + y(2|0) =  (2x|0) + (2y|0) = (2x + 2y | 0)

Comments

Wie kommt man auf f((0|1)) = (2|0)? Was meinst du mit mehr oder weniger willkürlich?

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(0|1) muss linear unabhängig sein von (1|0) damit man die Abbildung vollständig beschrieben hat. 

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Existiert also eine oder mehrere lineare Abbildung(en)?

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Unendlich viele Abbildungen

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Wie beweist man: (0|1) muss linear unabhängig sein von (1|0)

Und wie zeigt man, dass es unendlich viele Abbildungen gibt?

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Wäre es nicht (x+2y; 0)