Kann eine lineare Abbildung R^m -> R^n mit m > n injektiv sein?

Question

Aufgabe:

Kann eine lineare Abbildung f:R^m → Rⁿ mit m > n injektiv sein?

Problem/Ansatz:

Injektiv heißt f(x) = f(y) ⇔ x = y. Wenn m > n geht ja sozusagen "Information verloren".

z.B. bei f:R³ → R², (x,y,z) ↦ (x,y) dann gilt ja z.B. f(x,y,1) = f(x,y,2), ... also nicht injektiv. Aber wie sieht der allgemeine Beweis aus?

Answer 1

z.B. bei f:R3 → R2, (x,y,z) ↦ (x,y) dann gilt ja z.B. f(x,y,1) = f(x,y,2), ... also nicht injektiv.

Das ist doch schon ein Gegenbeispiel für deine Vermutung. Das reicht doch vollkommen aus. Man braucht daher nicht nochmal extra versuchen, einen allgemeinen Beweis zu führen, da man doch jetzt schon weiß, dass deine Vermutung nicht wahr ist, also falsch.

Comments

Aber die Aufgabenstellung ist doch: kann es wenigstens eine injektive lineare Abbildung mit m > n geben. Ein Gegenbeispiel würde doch nur widerlegen dass jede lineare Abbildung mit m > n injektiv ist.

Mit einem Beispiel wäre der Beweis also hinfällig. Wie beweist man, dass es kein so ein Beispiel geben kann?

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Sorry, habe nur das Beispiel im Auge gehabt. Die Argumentation von EmNero zeigt aber ganz ellegant, warum es hier keine injektive lineare Abbildung geben kann.

Answer 2

Die Dimensionsformel liefert sofort:

$$ 0 < m - n = \dim \mathbb{R}^m -\dim \mathbb{R}^n \le \dim \mathbb{R}^m - \dim \operatorname{Bild} f = \dim \operatorname{Kern} f $$

Der Kern hat somit Dimension echt größer 0, ist folglich auch nicht trivial und damit ist die Abbildung auch nicht injektiv.