Question

Einer Kugel mit dem Radius R ist ein Zylinder mit der Höhe h so einzubeschreiben, dass sein Volumen maximal wird. Bestimmen Sie die Höhe h und das maximale Zylindervolumen.

(Tipp vom Lehrer: Fertigen Sie zunächst eine Skizze an, in der die geometrische Beziehung zwischen den angegebenen Größen R und h deutlich wird!)

Brauche Hilfe , komme nicht weiter bei der Aufgabe!

:)

Answer 1

NB:

r^2 + (h/2)^2 = R^2

r^2 = R^2 - (h/2)^2

HB:

V = pi * r^2 * h

V = pi * (R^2 - (h/2)^2) * h

V = pi·R^2·h - pi/4·h^3

V' = pi·R^2 - 3/4·pi·h^2 = 0 --> h = 2/3·√3·R

r^2 = R^2 - ((2/3·√3·R)/2)^2

r^2 = 2/3·R^2

r = √6/3·R

Answer 2

Hast Du die von Deinem Lehrer empfohlene Skizze gemacht? Die sollte etwa so aussehen:

Daraus folgt die Nebenbedingung $$r^2+\frac{h^2}{4}-R^2=0$$ Die Hauptbedingung ist das Volumen des Zylinders. $$V=hr^2\pi$$ r sei sein Radius und h die Höhe. Und wenn ihr den Lagrange-Multiplikator in der Schule gehabt habt, dann sollte jetzt kommen: $$L(h,r,\lambda)=hr^2\pi + \lambda(r^2+\frac{h^2}{4}-R^2)$$ Ableiten und Nullsetzen ergibt $$\frac{\delta L}{\delta r}=2hr\pi + 2\lambda r = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda=-h\pi$$ $$\frac{\delta L}{\delta h}=r^2\pi + \frac{1}{2}\lambda h=0$$ mit \(\lambda=-h\pi\) (s.o.) folgt aus der letzten Gleichung $$r^2=\frac{1}{2}h^2$$ Das in die Nebenbedingung einsetzen führt zu $$\frac{1}{2}h^2+\frac{h^2}{4}-R=\frac{3}{4}h^2-R^2=0$$ und der Lösung $$h=\frac{2}{3}\sqrt{3}R \quad \text{und} \quad r=\frac{1}{3}\sqrt{6}R$$

Gruß Werner