wahrscheinlichkeitsrechnung, Niemals richtig!

Question

Aufgabe:

Sie gehen mit 1023 Dollar in ein Casino, um Roulette zu spielen (zur Erinnerung: Roulette hat 37 Felder, 18 rote, 18 schwarze und die grüne Null - setzt man z.B. auf Rot und dann kommt (..?) so gewinnt man genauso viel Geld wie man eingesetzt hat). Ein Spieler an Ihrem Tisch erzählt Ihnen, dass er eine unfehlbare Strategie gefunden hat, um immer zu gewinnen. Sie geht wie folgt:

- man setze zunächst 1 Dollar auf Rot
- kommt Rot, so hört man auf zu spielen und geht nach Hause - kommt stattdessen Schwarz oder die grüne Null, so setzt man in der nächsten Runde 2 Dollar auf Rot
- kommt diesmal Rot, so hört man auf zu spielen und geht nach Hause - kommt stattdessen wieder Schwarz oder die grüne Null, so setzt man in der nächsten Runde 4 Dollar auf Rot
- so verfährt man weiter, also indem man den Einsatz Runde für Runde verdoppelt solange kein Rot kommt, bis schließlich zum ersten Mal Rot kommt - dann geht man nach Hause.

Der Spieler erzählt, dass er diese Strategie bereits ein Jahr lang jeden Tag angewendet hat (..?) bisher noch jedes Mal am Ende mit Gewinn nach Hause gegangen ist.

Sie wollen mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung untersuchen, ob die Strategie so clever ist wie von dem Spieler behauptet.

a) Sei \( X= \) "Ihr Gewinn am Ende des Tages" (wenn Sie die vorgeschlagene Strategie anwenden). Geben Sie den Träger und die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \( X \) an.

b) Bestimmen Sie den Erwartungswert der in a) definierten Zufallsvariable.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion \( f(x) \) einer diskreten Zufallsvariable \( X \) ist für \( x \in \mathbb{R} \) definiert durch

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} p_{i}=P\left(X=x_{i}\right) & \text { für } x=x_{i} \in\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}, \ldots\right\} \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Die Wahrscheinlichkeiten lauten:

rot=18/37  schwarz=18/37 grüne Null= 1/37  man verliert mit einer Wahrscheinlichkeit von 19/37 als ca. 51,3%

Also intuitiv hätte ich gesagt, dass der Spieler auf Dauer nicht gewinnen kann. Da er vermutlich ein vorgegebnes Maximum (d.h. Höchsteinsatz) überschreitet oder sein Spielkapital von anfang an begrenzt ist. Wenn er z.B. 11 mal in Folge nur auf Schwarz oder grün kommt, dann hat er häufiger verloren als gewonnen, weil: 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024. 1024 ist mehr als sein Starteinsatz. Nun muss ich es allerdings mathematisch zeigen.

Zu a) also die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist im Aufgabenzettel enthalten

f(x) = (1/37)^x   Träger: T={0,1,2,3,...36}

b:)

Erwartungswert: E(X)=x1p1+...x_k+p_k+...

E(X)=-1*(19/37)+1*(18/37)

Ich weiß leider nicht, ob mein Ansatz richtig ist.

Answer 1

Der Träger umfasst die Werte, die unsere Zufallsvariable X annehmen kan, deren Wahrscheinlichkeit also größer als Null ist.

Nr. des Spiels	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Einsatz/Gewinnmöglichkeit	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512
Gesamtverlust bei Niederlage	1	3	7	15	31	63	127	255	511	1023
Netto-Gewinn bei Sieg	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Wie du siehtst gibt es nur zwei Möglichkeiten: Da man immer weiter spielt, bis man siegt oder keinen Einsatz mehr hat, gewinnt man entweder 1€ oder man verliert die gesamten 1023€, die man mitgebracht hat. Der Träger ist demnach \(T=\{-1023,1\}\) und die Wahrscheinlichkeitsfunktion:

$$f(x) = \begin{cases} \left(\frac{19}{37}\right)^{10}\qquad &\text{, für }x=-1023   \\1-\left(\frac{19}{37}\right)^{10}\qquad &\text{, für }x=1   \\ 0\qquad &\text{, sonst} \end{cases}$$

Der Erwartungswert ist entsprechend

$$\text{E}(X)=\sum_{k\in T}k\cdot f(k)=-1023\cdot\left(\frac{19}{37}\right)^{10}+1\cdot\left(1-\left(\frac{19}{37}\right)^{10}\right)\approx-0,31$$

Man macht im Schnitt 31ct Verlust!