Vektorräume, Basis, Matrizen

Question

kann mir jemand bei diesen Aufgaben helfen? Bin am verzweifeln

Sei W ein Vektorraum und seien U und V Untervektorräume von W mit Basis {u1, . . . , un} bzw. {v1, . . . , vm}. Entscheiden Sie, ob die folgenden Mengen eine Vektorraumstruktur tragen (Beweis oder Gegenbeispiel). Geben Sie im Fall, dass es sich um Vektorräume handelt, eine Basis des entstandenen Vektorraumes an und bestimmen Sie seine Dimension. (1) U ∪ V (2) U × V (3) U + V := {u + v : u ∈ U, v ∈ V } 

Answer 1

Sei W ein Vektorraum und seien U und V Untervektorräume von W mit Basis {u1, . . . , un} bzw. {v1, . . . , vm}.

Entscheiden Sie, ob die folgenden Mengen eine Vektorraumstruktur tragen (Beweis oder Gegenbeispiel).

Geben Sie im Fall, dass es sich um Vektorräume handelt, eine Basis des entstandenen Vektorraumes an und bestimmen Sie seine Dimension.

(1) U ∪ V  kein VR. Nimm die lineare Hülle von (0;1) und (1;0) in IR² .  Dann sind z.B. (0;1) und (1;0)

in U ∪ V  aber deren Summe nicht.

(2) U × V  ja, Basis ist     {u1, . . . , un} x {v1, . . . , vm}.       dim = n*m
   
(3) U + V := {u + v : u ∈ U, v ∈ V }  ja, 

Basis bekommst du durch  ( {u1, . . . , un}   ∪    {v1, . . . , vm}    )   \ (U ∩ V )  ) Also dim =  n + m - dim (U ∩ V )