Integralrechnung: Flächinhalstfunktion zur unter Grenze O für die Funktion 1/3*x^2

Question

Wir sollen die Obersumme und dann die Grenzwertrechnung durchführen jedoch hab ich kein schimmer wie das geht :(.

Answer 1

Obersumme für das Intervall von 0 bis b  ? 

Bei Zerlegung in n Teile ist immer am rechten Teilintervallsrand der
größte Wert, also Obersumme

b/n * f(b/n) +    1/n * f ( (2b)/n )   +  .............. +   1/n * f(nb/n)

= (b/n) * (    ( 1/3)(b/n)² + ( 1/3)(2b/n)² +   ......   ( 1/3)(nb/n)²   ) 


= (b/n) *(1/3)  (    (b/n)² + (2b/n)² +   ...... (nb/n)²   ) 


= (b/n) *(1/3) * (b/n)² (    (1)² + (2)² +   ...... (n)²   ) 


Für die Klammer gibt es eine Formel

setze ein und erhalte :

= (1/3) * (b/n)³ (   1/6 * n (n+1) * (2n+1)   ) 

=  (1/3) * (b³/n³)   (   1/6 ) * ( 2n³  + 3n²  +n  ) 


=  (1/3) * b³  * (   1/6 ) * ( 2n³  / n³ + 3n² / n³    +n/ n³   ) 


=  (1/3) * b³   *(   1/6 ) * ( 2+ 3 / n   +1 / n²   ) Für n gegen unendlich also 


Grenzwert    (1/3) * b³   *(   1/6 ) *  2    =   (1/9) *  b³