Integralrechnung Glas Füllstand und fehlende Grenze

Question

folgende Aufgabe bereitet mir derzeit Kopfzerbrechen.

Gegeben ist f(x) = 1,5*10^-5 x^5 - 9,3*10^-4 x^4 + 0,0188x^3 - 0,125x^2 + 0,1x + 3,75

Der Boden des Bierglases ist 1,5cm dick und verläuft somit von 0 - 1,5 und der Inhalt von 1,5 - 22,5

1. Berechne das Volumen

v = π * ∫ (1,5*10^-5 x^5 - 9,3*10^-4 x^4 + 0,0188x^3 - 0,125x^2 + 0,1x + 3,75)^2 dx    [1,5; 22,5]

  = π*371 = 1165 ml

2. Berechne den Inhalt bei einem drei-viertel Füllstand

Boden: 0 - 1,5 Inhalt: 1,5 - 16,875

v = π * ∫ (1,5*10^-5 x^5 - 9,3*10^-4 x^4 + 0,0188x^3 - 0,125x^2 + 0,1x + 3,75)^2 dx    [1,5; 16,875]

  = π*213 = 669 ml

3. Berechne den Füllstand bei 0,2l Inhalt

0,2l = 200ml, Gesucht Grenze [1,5; b] b = ?

I = ∫ (1,5*10^-5 x^5 - 9,3*10^-4 x^4 + 0,0188x^3 - 0,125x^2 + 0,1x + 3,75)^2 dx = 200   [1,5; b]

Bilde Stammfunktion und setze Grenzen ein:

I = ∫ [2,5*10^-6 *b^6 - 1,86 * 10^-4 *b^5 + 4,7*10^-3 *b^4 - 1/24 *b^3 +0,05*b^2 + 3,75*b ]

     - [2,5*10^-6 *1,5^6 - 1,86 * 10^-4 *1,5^5 + 4,7*10^-3 *1,5^4 - 1/24 *1,5^3 +0,05*1,5^2 + 3,75*1,5 ]

  = 9,38*b^5 = 200 | :9,38

               b^5 = 21,32 | √

                   b = 1,84

Ich bitte um eine kurze Korrektur und falls die 3 komplett falsch sein sollte - wovon ich ausgehe - bitte auch mit detailliertem Rechenweg.

MfG

Comments

Mir ist nicht so ganz klar, was die funktion eigentlich genau angibt.

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Die Funktion stellt ein Weizenbierglas dar.

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Poste doch mal die Originalaufgabe, vielleicht als Foto.

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Hier die Aufgabenstellung, die Funktion wurde uns dazu gegeben, da ansonsten ein Glas ausgemessen werden sollte.

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Punkt D ist in der Grafik nicht zu sehen.
Wird wohl ganz rechts sein

Neben den 4 Punkten A bis D sollen wohl
f ´( B ) = 0
f ´( C ) = 0
verwendet werden.

Zu 3.)

I = ∫ [2,5*10^-6 *b⁶
...
= 9,38*b⁵ =

Wo sind die ganzen b´s geblieben ?

Ansonsten läßt sich 3.) mit dem Newton
Verfahren lösen.

Zu Fuß rechnet man sich sicherlich bei der
Aufgabe zu Tode.

Ist ein GTR oder CAS zugelassen ?

mfg Georg

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Eine Möglichkeit der Berechnung zu Fuß
wäre es  eine angenommene Füllhöhe
ins Integral einzusetzen
1.5 .. 5 : 120 cm^3
einzusetzen. Dies kann mit dem Taschenrechner
noch im vertretbarem Arbeitsaufwand geschehen
und sich dann an den richtigen Wert durch
Wiederholung der Rechnung heranzutasten.
1.5.. 7 : 171
1.5..9 :223
1.5..8 : 196
1.5..8.2 : 201

Das Newton - Verfahren wäre wesentlich
arbeitsaufwendiger.

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Ich danke dir für dein Bemühen. Jedoch wäre ein herantasten an die Grenze, bis ein entsprechender Wert erreicht ist, kein Teil der Aufgabenstellung, da wir nach der fehlenden Grenze die Funktion auflösen sollen. In einer Klausur würde es für die Richtige Antwort ohne entsprechende Rechnung einige Punktabzüge geben.

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Von einer Klausur wußte ich natürlich nichts
zumal ja auch die Hilfe des Banknachbarn
gewünscht war.

Das " Herantasten " an die Lösung ist in
der Aufgabenstellung als Lösungsmöglichkeit
nicht untersagt worden.

Wenn zu Fuß gerechnet werden soll bleibt
nur das Newton-Verfahren. Kennst / kannst
du das ?
Im Falle dieser Aufgabe fällt es allerdings
aufgrund des Umfangs unter Tierquälerei.

  Georg.

Zur Erheiterung.:
Praktischer Tip
Was kann ein Mathematiker machen falls er vor einer Flugreise Angst hat im Flugzeug könnte eine Bombe versteckt sein?
Er nimmt auch eine Bombe mit.
Die Wahrscheinlichkeit das in einem Flugzeug 2 Bomben sind ist nahezu null.

Answer 1

a) Volumen

∫(pi·(0.000015·x^5 - 0.00093·x^4 + 0.0188·x^3 - 0.125·x^2 + 0.1·x + 3.75)^2, x, 1.5, 22.5) = 1167 ml

b) Inhalt bei einem Füllstand von 3/4 der Höhe.

Wie kommst du auf 16.875?

1.5 + (22.5 - 1.5) * 3/4 = 17.25

∫(pi·(0.000015·x^5 - 0.00093·x^4 + 0.0188·x^3 - 0.125·x^2 + 0.1·x + 3.75)^2, x, 1.5, 17.25) = 704 ml

c) Berechne den Füllstand bei 0,2 Liter Inhalt.

∫(pi·(0.000015·x^5 - 0.00093·x^4 + 0.0188·x^3 - 0.125·x^2 + 0.1·x + 3.75)^2, x, 1.5, h) = 200

h = 8.148 cm

Comments

Super! Danke, bei der b) bin ich auf 16,875 gekommen weil ich den Boden nicht in die Rechnung integriert habe, sondern nur die 3/4 des Glasinhalts.
Kannst du mir noch den Rechenweg für die c) posten?
Komme bei der Aufgabe immer auf h = 1,77

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Kannst du deinen Rechenweg posten ?

Was ist zugelassen ? GTR oder CAS ?

Wenn ja brauchst du das ja nur eintippen und lösen lassen.

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π * (2,5*10^-6*x^6 - 1,86*10^-4*x^5 + 4,7*10^-3*x^4 - 1/24*x^3 + 1/30*x^2+3,75*x)

π * (2,5*10^-6*b^6 - 1,86*10^-4*b^5 + 4,7*10^-3*b^4 - 1/24*b^3 + 1/30*b^2+3,75*b)

- (2,5*10^-6*1,5^6 - 1,86*10^-4*1,5^5 + 4,7*10^-3*1,5^4 - 1/241,5*1,5^3 + 1/30*1,5^2+3,75*1,5)

= π * (3,746*b^5 - 5,58178) = 200 | : |+17,5356

                            3,746π*b^5 = 217,5356 |: 3,746π

                                           b^5 = 18,484 |√

                                              b = 1,79

Der GTR ist leider nicht erlaubt. Für Berechnungen nur der normale TR.

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Wo sind die ganzen b´s aus der 2. Zeile hin ???

b^6 + b^5 + b^4 ....
verwandelen sich in
= 3,746π*b⁵

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b^6 - b^5 + b^4 - b^3 +b^2 + b = b^5

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@Venim: b⁶ - b⁵ + b⁴ - b³ +b² + b = b⁵  

Kontrolliere das mal mit Zahlen. Z.B. b=2

2^6 - 2^5 + 2^4 - 2^3 + 2^2 + 2

= 64 - 32 + 16 - 8 + 4 + 2

= 46 ≠ 32 = 2^5

D.h. b⁶ - b⁵ + b⁴ - b³ +b² + b = b⁵  ist nicht allgemeingültig und zumindest für b=2 falsch. 

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Ah. neue Rechenregel

a^m - a^n = a^{m - n}

Hast du die selber ausgedacht? Das funktioniert so nicht.

Es war

a^m : a^n = a^{m - n}

Also wenn man teilt gilt das, wenn man subtrahiert gilt es nicht.