Tulpenzwiebeln - Welche Mindestgarantie kann auf 68 % Sicherheitsniveau gegeben werden?

Question

Aufgabe:

Tulpenzwiebeln pflanzen sich zu 80% erfolgreich an. Es sind 10000 Tulpenzwiebeln vorhanden.

An Privatpersonen werden die Tulpenzwiebeln in Packungen zu 100 Stück abgegeben, Welche Mindestgarantie kann auf 68% Sicherheitsniveau gegeben werden?

Answer 1

Ich habe Mindestgarantie jetzt so verstanden, dass die Garantie für jede verkaufte Packung gelten soll (habe also die Tatsache, dass es 10 000 Zwiebeln in 100 Packungen sind, ignoriert):

Gesucht ist das k, für das die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens k Tulpen aus einer Packung keimen, mindesten 68% beträgt, also

$$\begin{aligned}P(X\ge k) \ge 68\%\\1-P(X\le k-1)\ge 0,68\\P(X\le k-1) \le 0,32\end{aligned}$$

Nachschauen in der entsprechenden Tabelle für kummulierte Binominalverteilungen mit n=100 und p=0,8 ergibt, dass \(P(X\le 77) \approx 0,261\) und \(P(X\le 78) \approx 0,346\), also ist \(k=78\): Aus jeder Packung keimen mit mehr als 68% Sicherheit (nämlich mit fast 74% Sicherheit) mindestens 78 Zwiebeln.