Monotonie - wachsend/fallend - Generelle Voraussetzungen

Question

Mathe-Freunde,

Ich habe derzeit die Monotonie von Funktionen und eine generelle Frage dazu:

Angenommen man hat die Funktion

(1)     f(x) = 2x²  sowie x₁=2 und x₂=4

daraus ergibt sich ja, dass f(x) strikt monoton wachsend ist, da

(2)     x₁ < x₂  und

(3)     f(x₁) < f(x₂)

Nun haben wir im nachfolgenden Kapitel die Monotonie der Ableitung mit der Bedingung:

(4)     f'(x) ≥ 0  monoton wachsend und f'(x) ≤ 0  monoton fallend

jetzt meine Frage(n):

-Bei (4) muss die Bedingung aus (2) immer noch zutreffen oder? Einzig (3) gilt da nicht mehr (da anderer Graph)

Vielen Dank

Answer 1

Angenommen man hat die Funktion

(1)     f(x) = 2x²  sowie x₁=2 und x₂=4

daraus ergibt sich ja, dass f(x) strikt monoton wachsend ist, da

(2)     x₁ < x₂  und 

(3)     f(x₁) < f(x₂)

Monotonie bei Funktionen bezieht sich immer auf ein ganzes Intervall I und beliebige x₁, x₂ ∈ I. Es muss dann aus der Bedingung (2) immer die Bedingung (3) folgen.

Indem Du beispielhaft x₁ = 2 und x₂ = 4 setzt, ist ueberhaupt nichts erwiesen, ausser dass die Funktion f im Intervall [2, 4] tatsaechlich (streng) monoton wachsend sein koennte und ganz bestimmt nicht monoton fallend ist.