Berechne den Schnittpunkt von f(x) = x^2-2 und deren Umkehrfunktion

Question

Brechene den Schnittpunkt fogender Gleichung und deren Umkehrfunktion. f(x)=x^2-2

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Es gibt gar keine Umkehrfunktion. Durch Spiegelung an der
Winkelhalbierenden entsteht der Graph rot/grün.
Dort hat jeder x-Wert 2 Funktionswerte. Ist also keine Funktion.
( Funktion = nur 1 Funktionswert ).

Wer die Schnittpunkte Blau mit Rot/Grün berechnen will gehe wie
folgt vor.

1.) Berechnung der Schnittpunkte der Funktion mit der Winkelhalbierenden

x^2 -2 = x

x = -1
x = 2

" Umkehrfunktion "
y = ± √ ( x + 2 )

Schnittpunkte Funktion / Umkehrfunktion
x^2 - 2 =  ± √ ( x + 2 )  | quadrieren
( x^2 - 2)^2 = x + 2

x^4 - 4 * x^2 - x + 2 = 0
Polynomdivision mit der ersten Lösung ( x = -1 )
( x^4 - 4 * x^2 - x + 2 )  : (  x + 1 ) = x^3 - x^2 - 3 * x + 2

Polynomdivision mit der zweiten Lösung ( x = 2 )
( x^3 - x^2 - 3 * x + 2  ) : (  x - 2 ) = x^2 + x -1

x^2 + x -1 = 0

x = ±√ ( 5/4 ) - 1/2

mfg Georg

Answer 1

umkehrfunktion ist

wurzel(x+2)

schnittpunkt mit der x achse?

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was soll da die x-Achse?!

es ist doch der Schnittpunkt mit der Funktion f(x) = x^2-2 gesucht und keine Nullstelle!

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Weiß jemand wie man die Schnittpunkte ausrechnet?

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Ja - siehe meine Antwort!

Answer 2

$$  f(x)=x^2-2 $$
$$  f^{-1}(x)=\sqrt{x+2} $$
Gleichsetzen
$$  f^{-1}(x)=  f(x)$$
$$  x^2-2=\sqrt{x+2} $$

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Ja soweit bin ich auch gekommen. Wie geht es denn weiter?

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EDIT:

noch im Dezember wurde hier ein Fehler ausge"märz"t

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Edit:

wurm drin - muss nachdenken - qualm ...

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gorreckduhr:

$$  (x^2-2)^2=x+2 $$
$$  x^4-4x^2+4=x+2 $$
$$  x^4-4x^2-x+2=0 $$
$$  x_1=2 $$

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dann:

Polynomdivision durch den ersten Linearfaktor:
$$ ( x^4-4x^2-x+2):(x-2)= \quad \cdots $$

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Das habe ich auch hingekriegt x=2 zu raten. Wie kriegt man den weiteren Schnittpunkt hin?

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Polynomdivision ergibt

$$ p(x) = x^3 + 2x^2 - 1$$

Ja - das hattest du auch schon längst raus gehabt, bevor ich das hier gepostet habe - klar doch!

hier raten wir dann wieder die Nullstelle und teilen durch den Linearfaktor, der dabei entsteht ...

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Mein Problem ist, das ich natürlich hier mit -1 weitermachen kann, aber das ist gar keine lösung.

Gibt es einen Weg,  nur die relevanten Lösungen auszurechnen? Oder muss man alle ausrechnen und dann durch Probe rausfinden welche passen?

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Hallo sans espoir,

wenn Du die explizite Darstellung benutzt, hast Du 2 Umkehrfunktionen. Wenn Du Funktionen implizit darstellst, hast Du es hier einfacher.

Grüße,

M.B.

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Durch das Quadrieren treten Scheinlösungen auf. Diese können dennoch für die Polynomdivision verwendet werden. Insgesamt findet man so vier reelle Lösungen, wobei zwei durch die notwendige Probe als ungültig erklärt werden ;).

Zumal man hier mit "Umkehrfunktion" aufpassen muss. Wenn nicht weiter eingeschränkt, gibt es zwei Möglichkeiten.

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MB hat ja bereits eine Variante zum Besten gegeben, die den Rechenaufwand erheblich vereinfacht und zu einem Teilergebnis führt, wobei im Ernstfall erheblicher Punktabzug in Kauf genommen werden müsste.

Der Weg ist hier wie auch in vielen anderen Fällen, zunächst sämtliche möglichen Nullstellen des Polynoms zu ermitteln, um dann zu prüfen, welche der Lösungen wirklich Lösungen sind.

Da wir zu Beginn eine Wurzel quadriert haben, ist damit zu rechnen, dass es doppelt so viele Nullstellen geben wird, als Elemente in der Lösungsmenge zu erwarten sind.

Im Prüfungsfalle ist das vollständige Vorrechnen ein sicherer Weg!

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Danke für die Erklärungen!

Answer 3

der Ansatz

$$ x^2-2 = x $$

liefert

\( x_1 = -1 \) und \( x_2 = 2 \).

Grüße,

M.B.

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Interessante Abkürzung - aber wie gibt ein korrigierender Lehrer dafür Punkte?

Herleitung ???

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... zudem auch eine der möglichen Lösungen auf diesem Wege unter den Tisch fällt - sehr gut!

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Hallo sans espoir,

Du enttäuscht mich jetzt etwas (wenn man das wörtlich nimmt, eigentlich doch nicht).

Ihr beide, koffi123 und Du, seid doch auch nicht zimperlich, wenn es darum geht, Bemerkungen über Fragesteller zu machen.

Denke mal scharf über meinen Ansatz nach.

Grüße,

M.B.

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Hm. Funktion und Umkehrfunktion schneiden sich sicher auf der 1. Winkelhalbierenden. Allerdings kann es auch weitere gemeinsame Punkte geben. Nur mal ein paar Beispiele

y = 1/x

y = 10 - x

y = 3.8 - 0.2·x^2

Man müsste also zumindest ausschließen, dass es nicht noch weitere Punkte geben kann.

Was mich aber nichts desto trotz an der Aufgabe stört das kein Definitionsbereich der Parabel vorgegeben ist. Kann man so überhaupt von der Umkehrfunktion sprechen. Gibt es nicht zwei, je nachdem Welchen Ast der Parabel man betrachtet.

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EDIT: vergesst es - is ja nich wahr!

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Es ist hier im Forum ein verbreitetes Phänomen, bei Funktionstermen ohne Angabe eines Definitionsbereiches von Funktionen zu sprechen. Hier sollte dann zumindest die Maßgabe "wenn nichts anderes angegeben ist, ist von D = D_max auszugehen" gelten.

Hier ist D_max = ℝ

Die Funktion f: ℝ → ℝ  ist nicht injektiv und es existiert keine Umkehrfunktion.