Wie löse ich folgende Ungleichungsaufgaben? (x+3)/(x-4) ≥ -1

Question

Hallo ihr zusammen :)
Ich verstehe leider folgende Ungleichungsaufgaben nicht. Bei der a.) habe ich nicht einmal den Ansatz, wie die Ungleichung aussehen könnte...
Und bei der b.) weiß ich nicht wie man diese Bruchungleichungen löst. Ich kann nur Betragsungleichungen lösen.
Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen würde ! .

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Tipp zu (b): Multiplikation mit \((x-4)^2\) liefert \((-1)(x-4)^2\le(x+3)(x-4)\) für \(x\ne4\). Es folgt \(0\le(2x-1)(x-4)\).

Answer 1

(x+3)/(x-4) ≥ -1   | + 1

(x+3)/(x-4) +1 ≥ 0       | Bruchaddition

(x+3)/(x-4) + (x-4)/(x-4) ≥ 0

((x+3) + (x-4))/(x-4) ≥ 0

(2x-1)/(x-4) ≥ 0        . Nullstelle des Zählers: x = 1/2. Nullstelle des Nenners (Definitionslücke) x = 4

Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler allein 0 ist, also hier, wenn x = 1/2 .

Ein Bruch ist grösser als 0, wenn Zähler und Nenner > 0 oder beide kleiner als 0 sind.

Beide sind grösser als 0 für x>4 und beide sind kleiner als 0 für x<1/2.

L = { x Element R | x≤ 1/2 oder x>4 } 

  

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Die letzte Null sollte wohl eine 4 sein?

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Was wäre aber, wenn es ≥-5 wäre, dann könnte ich ja keine Bruchaddition machen, das geht ja nur wenn da eine 1 steht oder? Ansonsten ist dein Lösungsweg wirklich super einfach !

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nn: Welche letzte 0 meinst du?

xxibgdrg62: Bruchaddition ist formal immer möglich, ob irgendwas (WAS meinst du überhaupt? x? ) ≥ -5 ist .

Der gegebene Bruchterm ist nicht definiert für x=4. D.h. x=4 einsetzen ist nicht erlaubt.

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Die letzte 4 war ursprünglich eine 0.

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Ok. Danke. Dann ist das erledigt. War vermutlich noch am Bearbeiten.

Answer 2

a)

KN(x) < KS(x)

Du solltest auf die Lösung x > 35 kommen.

Schaffst du es dann weiter

b)

(x + 3)/(x - 4) ≥ -1

Fall 1: x - 4 > 0 bzw. x > 4

x + 3 ≥ -(x - 4)

x + 3 ≥ -x + 4

2x ≥ 1

x ≥ 1/2

Damit muss x > 4 sein.

Fall 2: x - 4 < 0

Schaffst du diesen Fall alleine.

Insgesamt solltest du auf die Lösung x ≤ 1/2 ∨ x > 4 kommen.

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Ich verstehe alles bis x≥1/2, aber wie kommst du dann drauf, dass x>4 sein muss ? Kannst du mir das nochmal erläutern ?
Hmm... Ich habe den 2. Fall mal versucht aber das hat nicht so geklappt :D

Fall 2:

x-4 < 0

x+3 ≥ x-4  | +4

x+7 ≥ x  | -x

7≥0 ?

Und dein Tipp hat mir leider immer noch nicht weitergeholfen bei der Aufgabe 1.. tut mir leid :(

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Im Fall 1 ging ich davon aus das x > 4 ist. Wenn es jetzt eine Lösung für x >= 0.5 gibt ich aber voraussetze das x > 4 ist gibt eys nur lösungen für x > 4. Man bildet hier also die Schnittmenge der Fallmenge und der Lösungsmenge.

Fall 2: x - 4 < 0 bzw. x < 4

x + 3 ≤ - (x - 4)

x + 3 ≤ - x + 4

2x ≤ 1

x ≤ 1/2

Hier ist die Schnittmenge x ≤ 1/2.

Die Komplette Lösung ergibt sich aus der Vereinigung der Lösungen der einzelnen Fälle. Damit ist die gesamte Lösung x ≤ 1/2 ∨ x > 4.

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a)

Ersetz doch mal in meinem Tipp

KN(x) < KS(x)

die Funktionswerte durch die Funktionsterme.

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ach gott ! der a.) teil ist ja echt mega einfach.. ich glaube es ist einfach zu spät für mich ! :D
vielen vielen dank du hast mir sehr geholfen.. habe aber ausversehen schon die beste antwort vergeben :(

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Wichtig ist ja das du es verstanden hast. Das ist mir viel mehr Wert als ein Stern für die beste Antwort.

Wenn du es verstanden hast vielleicht hilfst du als Dank auch anderen Leuten die Hilfe benötigen.

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Das hast du schön gesagt, danke. Würde ich gerne, aber ich verstehe die Sachen selber nie, da liegt das Problem :D