Bestimmen sie den Grenzwert.

Question

ich komme bei folgendem Problem nicht mehr weiter kann mir jemand helfen ?

lim_(x->0) (x sin(x))/(cos(x) - 1) = -2

Wie komme ich drauf, dass es -2 werden soll ? Bitte ohne Hospital,

MfG

Answer 1

x * sin(x )    /   (  cos(x)   -   1 )    mit  1 + cos(x) erweitern


=  x * sin(x ) * ( 1 + cos(x) )   /   (  - 1  +  cos(x)² ) 



=  x * sin(x ) * ( 1 + cos(x) )   /   (  - sin(x)² ) 



=     -  x  /   sin(x )    *     ( 1 + cos(x) )  


Der erste Faktor geht gegen -1 und der zweite gegen 2.

Answer 2

$$ \frac { xsin(x) }{ cos(x)-1 }=\frac { x*2*sin(\frac { x }{ 2 })cos(\frac { x }{ 2 }) }{ -2sin^2(\frac { x }{ 2 }) }\\=-\frac { x*cos(\frac { x }{ 2 }) }{ sin(\frac { x }{ 2 }) }\\=-cos(\frac { x }{ 2 })\frac { x }{ sin(\frac { x }{ 2 }) }\\\lim_{x\to0}-cos(\frac { x }{ 2 })\frac { x }{ sin(\frac { x }{ 2 }) }\\z=x/2\\=\lim_{z\to0}-cos(z)\frac { 2z }{ sin(z) }\\=-1*2=-2 $$

Answer 3

Hallo EG,

lim_x→0  [ x * sin(x) / (cos(x) - 1) ] 

Bruch erweitern:

 =  lim_x→0  [ x * sin(x) * (cos(x) + 1) / ((cos(x) - 1) *  (cos(x) + 1) ] 

3. binomische Formel:

=   lim_x→0  [ x * sin(x) * (cos(x) + 1) / (cos²(x) - 1) ]

                   [ cos²(x) = 1 - sin²(x) ] : 

=   lim_x→0  [ x * sin(x) * (cos(x) + 1) / (- sin²(x)) ]

=   lim_x→0  [ x * (cos(x) + 1) / (- sin(x)) ]

             [ lim_x→0 sin(x) / x  = 1  =   lim_x→0  x / sin(x) ]:

=   lim_x→0  [  - x / sin(x) *  (cos(x) + 1)  ]   = -1 * 2  = - 2

Gruß Wolfgang