wie macht man eine Kurvendiskussion mit e-Funktionen? f(x)= (1-x) * e ^{ 2-x}.

Question

Gegeben sei die Funktion f(x)= (1-x) mal e hoch 2-x.

Berechnen Sie die Nullstellen, das Unendlichkeitsverhalten und die Extrem- und Wendepunkte.

Answer 1

Kleiner Tipp, Sieh dir an, welcher Teil der Funktion Null werden kann und welcher nicht.

Hinweis: (1-x) kann Null werden!

1-x=0

1=x

Nullstelle bei (1/0)

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Extrem- und Wendepunkte kann wieder mit den üblichen Mitteln einer jeden Kurvendiskussion betrachtet werden.

 ~plot~ (1-x)*e^{2-x} ~plot~

Answer 2

Funktion und Ableitungen 

f(x) = e^{2 - x}·(1 - x)

f'(x) = e^{2 - x}·(x - 2)

f''(x) = e^{2 - x}·(3 - x)

Verhalten im Unendlichen

lim (x → -∞) f(x) = ∞

lim (x → ∞) f(x) = -0

Nullstellen f(x) = 0

e^{2 - x}·(1 - x) = 0   [Satz vom Nullprodukt]

e^{2 - x} ≠ 0

1 - x = 0 --> x = 1

Extremstellen f'(x) = 0

e^{2 - x}·(x - 2) = 0

x - 2 = 0 --> x = 2

Wendestellen f''(x) = 0

e^{2 - x}·(3 - x) = 0

3 - x = 0 --> x = 3

Alles sind einfache Nullstellen und daher auch wirkliche Extrem und Wendepunkte. Brauchst du nur noch die y-Koordinate bestimmen. Die Art des Extrempunktes geht aus dem Verhalten im Unendlichen hervor.