Geg: ABC A(1/-1) B(6/-1) C (1/11). Suche Berührpunkte Seiten-Inkreis, usw.

Question

Geg: Dreieck ABC: A(1/-1) B(6/-1) C (1/11). 

a.) Überprüfe rechnerisch folgenden Satz: Die drei Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den Berührpunkten des Inkreises auf den Gegenseiten schneiden einander in einem Punkt G ( Gergonne*sche Punkt). (was ist der Gergonne´sche Punkt) ??

b.) Überprüfe ob G auf der eulerschen Gerade liegt.

Weiß jemand bescheid?! LG und

 

Ergänzende Antwort hier: Wie bestimme ich einen Lotusfußpunkt?

Comments

Die drei Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den Berührpunkten des Inkreises auf den Gegenseiten schneiden einander in einem Punkt G ( Gergonne*sche Punkt).

(was ist der Gergonne´sche Punkt) ??

Das ist offenbar der Punkt, der in diesem Satz definiert wurde.

Answer 1

Was der Punkt von Gergonne ist wurde in der Aufgabe ja bereits definiert.

Eine andere Erklärung findest du bei Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Gergonne-Punkt

Der Gergonne-Punkt liegt mit dem Schwerpunkt und dem Mittenpunkt (in dieser Reihenfolge) auf einer Geraden. Das ist aber nicht die Euler Gerade. Das könntest du dann zeigen.

Siehe auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulergerade

Unter der eulerschen Geraden eines Dreiecks (auch Eulergeraden, benannt nach dem Mathematiker Leonhard Euler) versteht man die Gerade, die durch den Schwerpunkt, den Umkreismittelpunkt und den Höhenschnittpunkt des Dreiecks geht.

Comments

was muss ich nun genau berechnen ? LG

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Du berechnest den Gergonne-Punkt

Und eine Geradengleichung für die Eulergerade. 

Dann zeigst du das der Geronne Punkt nicht auf der Eulergeraden liegt.

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wie berechne ich den Gergonnischen Punkt ?!

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Ich skizziere das mal

Nach Skizze liegt der Punkt bei ca. (1.13, 2.12).

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bei mir steht G ( 2,79/0,29)

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du meintest  glaub ich -1,13

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@Mathecoach: Dein A ist leider nicht A(-1|1).

So kommt ein rechtwinkliges Dreieck in spezieller Lage raus. Womit man ganz einfach die 1. Winkelhalbierende angeben kann als

w_A: y = x - 2

Inkreismittelpunkt muss auf dieser Geraden liegen. Die Methode mit der HNF wäre dann nur noch für die andern beiden Winkelhalbierenden nötig.

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meine Skizze ist anders! es muss ein Rechter Winkel doch sein


die Hessische Abstandsformel abe wie geht diese nochmal?? kannst du mir ein beispiel vorrechnen
und wie kommen ich auf x-2 die Wendetangente? wie kann ic hdas am besten rauslesen?

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kann das stimmen das für s = - 9/29

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@Anonym: Das solltest du anhand deiner (richtigen) Skizze ablesen können.

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nein das kann nicht stimmen :(
hast du zeit den inkreis auch zu berechnen vielleicht komme ich dann auf meinen Fehler

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Hier eine verbesserte Skizze

Dann habe ich auch als Punkt (2,79 | 0,29)

Hier ist das rechnerisch ja auch viel einfacher zu berechnen. Ich kann doch direkt eine Gerade durch CF und durch BE legen und den Schnittpunkt bestimmen.

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muss ich nur die Skizze zeichnen bei diesem Beispiel ?? und dann den Punkt ablesen?

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Das ist Auslegungssache denke ich. 

Die Aufgabe war: "Überprüfe rechnerisch folgenden Satz"

Daher sind eigentlich alle Teile rechnerisch zu erbringen. 

Aber manchmal ist es auch erlaubt offensichtliche Gegebenheiten einfach abzulesen.

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okay kannst du mir ienbisschen helfen wie ich das rechnerisch am besten mache ?

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Lu hat dir das doch schon erklärt. Hast du den Innkreismittelpunkt bestimmt ?

Dann bitte mit Rechnung hier mal reinstellen. Wenn du damit nicht klar kommst bescheid sagen.

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Für die Berechnung des Innkreises hast du eigentlich zwei Ansätze. Wie Lu das geschrieben hat über die Hesseschen Normalform der Geradengleichung. Oder der klassische Ansatz über die Winkelhalbierenden. Ich persönlich mache das meist über die Winkelhalbierenden. Das kann man aber machen wie man das selber für praktikabel hält. Ich würde dich bitten dir mal eine Variante herauszusuchen und es zu versuchen. Wenn du aufs falsche Ergebnis kommst ist das ja nicht wild, dann können wir das korrigieren und sagen wo du einen Fehler gemacht hast. Ansonsten kann ich mir heute Abend auch Zeit nehmen das zu lösen. Dabei lernst du aber eigentlich nicht so viel, wie als wenn du es selber probierst.

Answer 2

wie berechne ich den Gergonnischen Punkt ?!

1. Als Erstes kannst du mal den Inkreismittelpunkt bestimmen. Er hat von allen Dreiecksseiten denselben Abstand. Du kannst somit mit der Hesseschen Normalform der Geradengleichungen der Seiten arbeiten.

2. Bestimmst du die Lotfusspunkte auf den Seiten.

3. Gleichungen der 3 Geraden, die die Fusspunkte mit den entsprechenden Ecken verbinden.

4. Je zwei von diesen Geraden schneiden.--------> G

Comments

ich berechne mal den Inkreismittelpunkt danach melde ich mich wieder

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Ein Beispiel mit HNF habe ich hier https://www.mathelounge.de/29872/gegeben-suche-kleinste-kugel-welche-beruhrt-durch-nullpunkt vorgerechnet.

Die Formel für die HNF solltest du in deiner zur Maturprüfung zugelassenen Formelsammlung finden.