Ist das eine Untergruppe?

Question

Untersuchen Sie, ob es sich bei folgenden Teilmengen der Menge F um Untergruppen von (F,+) handelt.

U = f: IR→IR l f(x)=b mit b€IR

Wieder die selbe Ahnungslosigkeit wie eben :-/ Hilfe bitte

Answer 1

ich nehme an, dass \( F = \{ ax+b \} \) sein soll? (Ist aber eigentlich egal.)

Wenn Du üben willst, dann prüfe alle Gruppenkriterien an \( U\) durch. Einfacher geht es mit dem Untergruppenkriterium (das setzt die Gruppeneigenschaften von \(G\) und damit auch von \(U\) voraus und letztendlich prüfst Du nur die Abgeschlossenheit:)

\(U\) ist Untergruppe von \(G\) \( \Longleftrightarrow \forall~ a,b \in U : a\circ b^{-1} \in U \).

Da Du eine additive Gruppe hast, heißt das

\(U\) ist Untergruppe von \(G\) \( \Longleftrightarrow \forall~ a,b \in U : a-b \in U \).

Prüfe also, ob Differenzen in der Untergruppe liegen.

Grüße,

M.B.

Comments

ok, kannst du erstmal in einfachen Worten erklären, was eine Untergruppe ist?

Und was bedeutet das umgedrehte A?

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\(\forall\) steht für "für alle ... gilt" oder "für jedes ... gilt".

Eine Untergruppe ist eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst wieder eine Gruppe ist.

Grüße,

M.B.

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ok, also ich bin raus, ganz lieben Dank :-)

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und das wo dieses doch viel einfacher ist?

Grüße,

M.B.

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:-) mir Hilft deine Antwort nicht wirklich weiter. Das eine Untergruppe eine Teilmenge von ner Gruppe ist, ist klar. Aber was muss dafür erfüllt sein? Und wie beweise ich das?Hab davon noch drei Aufgaben und wenn die alle so lange dauern wie die erste (das waren mehrere Stunden mit deiner Hilfe) dann schaff ich das nicht mal mehr bis zur Abgabe morgen.Und einfach find ich da gar nichts :-) Kann nicht eine Zeile von deiner ersten Antwort in normales Deutsch übersetzen. Ich weiss einfach nicht wovon du redest :-)

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Du hast eine Gruppe \(G\). Von dieser hast Du alle Eigenschaften bereits getestet und es funktioniert alles. Das ist unsere Voraussetzung.

Nun nimmst Du einfach eine beliebige Teilmenge \( U \subset G \).

Für diese Teilmenge \(U\) musst Du (theoretisch) wieder alles prüfen, aber praktisch brauchst Du das nicht:

assoziativ: Gilt in \(G\) (nach Voraussetzung), also auch in \(U\), fertig.

kommutativ: Gilt in \(G\) (nach Voraussetzung), also auch in \(U\), fertig.

neutral: Du hast ein Neutrales (nach Voraussetzung), aber liegt das in \(U\) oder außerhalb?

invers: Du hast alle Inversen (nach Voraussetzung), aber liegen die in \(U\) oder außerhalb? (In \(G\) liegen sie ja auf jeden Fall, aber auch im Teilbereich \(U\)?).

Dein Untergruppenkriterium besagt nun:

Nimm zwei beliebige Elemente aus \(U\) und bilde die Differenz. Diese liegt ja ganz sicher in \(G\), aber auch im Teilbereich (= Untergruppe) \(U\)?

Wenn ja, dann ist \(U\) eine Untergruppe, wenn nein, dann ist es nur einfach eine Teilmenge.

Grüße,

M.B.

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ok, klingt alles logisch, kann ich aber nicht auf die Aufgabe übertragen.

Es geht doch nur um f(x)=b

Und unser inverses Element war ja irgendwas mit -(mx+b).

Und b kann ja nicht mx+b sein oder?

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für Deine Menge \(G\) war die Form \(ax+b\) mit \(a,b \in \Bbb R\)

Deine Teilmenge (Untergruppe) muss jetzt eine Spezialform davon sein, und das ist sie, nämlich \( 0x+b \).

Dein Neutrales war vorher \( 0x+0 \), das entspricht auch der Speizalform \( 0x+b \).

Die Inversen waren \(-(ax+b) \), die Spezialform davon ist \( -(0x+b) \).

Passt also alles. Nur die Abgeschlossenheit ist noch nicht sichergestellt.

Grüße,

M.B.

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Nee, wir scheissen jetzt auf die paar Punkte und machen uns n schönen mathefreien Abend. Das versteh ich heute nicht mehr :-)