f(x)= {1/n^2 falls x=1/n, (sonst 0) auf Stetigkeit überprüfen

Question

Ich kann mir vorstellen, was ich unter Stetigkeit zu verstehen habe, aber ich weiß einfach nicht wie ich eine Funktion auf Stetigkeit überprüfen kann.

gegeben ist eine Funktion f: R->R, f(x)= 1/n^2 falls x=1/n, n€N (sonst 0).

Nun soll ich dies auf Stetigkeit in allen Punkten x€R untersuchen. Wie gehe ich nun ganz genau vor?

Answer 1

An jeder Stelle x=1/n ist die Funktion unstetig; denn wenn man etwa eps=1/(2n²) wählt,

dann gibt es kein δ mit

| 1/n - x | < δ    ==>  |  1/n²   -   f(x) | < eps   , weil in jeder δ - Umgebung von 1/n auch

Werte liegen, die nicht

in der Form 1/n dargestellt werden können (  etwa irrationale x-Werte ) , und die haben ja den

Funktionswert 0, der nicht in der eps-Umgebung von  1/n²  liegt.

An allen anderen Stellen ist es stetig,

Denn für x ungleich 0  und x ungleich 1/n für alle n gibt es immer eine

ganze Umgebung, in der alle x-Werte ungleich 0  und x ungleich 1/n für alle n sind,

also ist die Funktion

dort konstant = 0 und damit stetig.

Bei x = 0 liegen zwar in jeder δ-Umgebung von x auch x-Werte von der Art 1/n .

Deren Funktionswerte sind aber1/n²  und   wenn man die δ-Umgebung klein genug wählt,

sind die also alle in jeder vorgegebenen eps-Umgebung von 0.