Stetigkeit der Komposition zweier Funktionen

Question

Seien f,g : R → R Funktionen und h = g◦f : R → R die

Komposition der Funktionen, d.h. h ist durch h(x) = g (f (x)) definiert.

Falls h stetig ist, so sind auch f und g stetig.

Hab es hier mit einem Gegenbeispiel versucht. Habe f(x)=1 falls x rational und f(x)=-1 falls x irrational. Habe dann g=1/f gewählt. Ist das richtig? Oder wie beweise ich das dies nicht gilt?  

Falls f und h stetig sind, so ist auch g stetig. 

Hab leider keine Ahnung wie ich hier ran gehen soll. 

 

Answer 1

Hab es hier mit einem Gegenbeispiel versucht. Habe f(x)=1 falls x rational und f(x)=-1 falls x irrational. Habe dann g=1/f gewählt.

Ist das richtig?   Du meintest  h = 1/f   also   g = 1/x  ,  Aber  1/f  ist ebenso wie f nicht stetig.   

Aber wenn du  g=x² nimmst, dann ist h(x)  =   1²  oder eben  (-1)²  

(je nachdem, ob x rational oder irrational ist.)  aber in beiden Fällen  = 1 und damit ist

h dann die konstante Funktion 1 und die ist stetig.zu b) ist es einfach, wenn ihr das Folgenkriterium für Stetigkeit schon hattet.

Dann findest du den Beweis auf S.57 dort

http://home.mathematik.uni-freiburg.de/wang/skript07.pdf

Comments

Danke schonmal für die Antwort. Also sollte es genügen, wenn ich damit argumentiere "so folgt f(xn) → f(x0) aus der Stetigkeit von f in x0, und weiter g(f(xn)) → g(f(x0)) wegen der Stetigkeit von g in"?

 

---

Wenn ihr die Definition über Folgen getroffen habe, oder

einen entsprechenden Satz bewiesen ist das wohl OK.