Was ist den eine Normale im Wendepunkt? y = 2x - x^3/3

Question

Halli Hallo. BSP: 5.038

Wie errchne ich mir meine Fläche und was ist diese Normale?

Liebe grüße,

Laura

Answer 1

Hallo Laura,

f(x) = 2x - 1/3 · x³

da nur ungerade Exponenten bei x vorkommen, ist f symmetrisch zum Ursprung

f '(x) = 2 - x²

f "(x) = -2x = 0    →  Wendepunkt W(0|0)

Die Tangente in W hat die Steigung m_T  = f  '(0)  = 2 

Die Normale steht dort senkrecht zur Tangente  →  m_N = -1 / m_T  = - 1/2

→ Normalengleichung  y = - 1/2 · x 

Schnittstellen zwischen dem Graph von f und der Normalen:

2x - 1/3 · x³ = - 1/2 x  ⇔  5/2 x - 1/3 x³ = 0  ⇔  x * ( 5/2 - 1/3 x²) = 0  ⇔  x = 0 oder 5/2 - 1/3 x² = 0

                                        ⇔  x² = 15/2  ⇔  x = ± √(7,5)

Wegen der Symmetrie von f zum Ursprung beträgt die gesuchte Fläche

A = 2 * ₀∫^√(7,5) ( 2x - 1/3 · x³ - (-1/2x) ) dx   =  2 * ₀∫^√(7,5) ( 5/2·x - x³/3) dx

             =  2 * [ 5/4 x² - x⁴/12 ]₀^√(7,5)  = 2 * 75/16  =  9,375

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang, aber die Funktion lautet ja: y= 2x-x°3/3

Bei dir jedoch: f(x) = x - 1/3 · x³

oder übersehe ich etwas?

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Laut lösung kommt auch eine andere Fläche raus: 9,375

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Du übersiehst nichts, habe das beim Hin- und Herschieben zwischen Antwort und Frage falsch abgetippt.

Werde das für dich noch mal rechnen :-)

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Wolfgang du bist so nett, danke dir! Frohe Weihnachten

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und ich denke der Wendepunkt müsste bei 2 liegen. Weill wenn ich die zweite Ableitung null setze. Kommt bei mir 2 raus.

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@Laura: Welchen Wendepunkt hast du denn ausgerechnet?

Gemäss Plotter ~plot~ 2x - x^3/3 ~plot~ hat der Wendepunkt 

 die Koordinaten W(0|0) 

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Irgendetwas mache ich erheblichst falsch, ich dachte mit das ich mir den Wendepunkt errechnen muss wen ich die 2te Abletung null setze?

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Rechnung mit korrekter Ausgangsfunktion in meiner Antwort neu durchgeführt.

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Herzlichen Dank Wolfgang, du bist mit eine sehr große hilfe gewesen. Ist die Normale immer -1?

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Wieso, die Normale ist doch  y  = - 1/2 x

und das gilt nicht immer:

Die Normale in einem Kurvenpunkt (a | f(a))  hat i.A. die Steigung  -1 / f '(a) , weil sie zur Tangente senkrecht steht,

und deshalb die Gleichung

y  =  -1 / f '(a) * ( x - a ) + f(a)

hier ist in W(0|0)  a = f(a) = 0  und f '(a) = 2  →  y = - 1/2 x

Answer 2

Die Normale hat die Gleichung:

y= -1/m * (x-xW)* f '(xW) + f(xW) , wobei gilt: f(x)=y , xW=WP-Stelle

Ermittle den WP, die Steigung m im WP und die y-Koordinate des WP.
Dann nur noch einsetzen und zusammenfassen.

Answer 3

Du hast (1) einen Punkt, (2) eine Tangente durch diesen Punkt. Eione Normale ist nun eine Gerade, die auch durch diesen Punkt geht, aber orthogonal (d.h. meistens 90°) zur Tangente ist.

Grüße,

M.B.