Normabschätzung Poisson- Integral

Question

Hallo alle,

ich versuche mich gerade am Beweis eines Satzes, aber bin zum Scheitern verurteilt :(

Der Satz lautet wie folgt:

Ist 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ L^p(T) und u_r(e^ix) = (1/2π) ∫ P_r(x-t)* f(t) dt. Dann gilt:

                              ||u_r||_{p ≤} ||f||_p                (0≤ r <1)

Dabei läuft die Integralgrenze von -π bis π und T ist der Einheitskreis.

Ich bin die Sache fongendermaßen angegangen:

Zuerst habe ich die Jensensche Formel angewendet:

||u(re^ix)||_p = ||(1/2π) ∫ P_r(x-t)* f(t) dt||_p

|u(re^ix)|^p = |(1/2π) ∫ P_r(x-t)* f(t) dt|^p

               ≤ (1/2π) ∫ P_r(x-t)* |f(t)|^p dt         ♥

So weit so gut. Nun beachten wir noch
 P_r(x-t) = (1-r²) / (1-2rcos(x-t)+r²)

Den Schritt, der jetzt kommt, verstehe ich absolut nicht mehr:

Wenn wir obige Ungleichung ( ich habe sie ♥ getauft) bezüglich x über [-π,π] integrieren und den Satz von Fubini anwenden. sollen wir die Normabschätzung erhalten.

Die Rechnung will bei mir einfach nicht funktionieren. Ich bin sehr auf eure Hilfe angewiesen. Macht mir bitte ein Weihnachtsgeschenk :)

Danke schonmal und noch besinnliche Weihnachten ;)

Answer 1

Hi,

das folgt weil gilt

$$  \int_{-\pi}^\pi P_r(x-t) dx = 2 \pi $$ siehe http://www.uccs.edu/~rcarlson/math447/harm.pdf

Ich habe aber den Schritt mit der Jensenschen Ungleichung nicht nachvollziehen können.