Du hast eine rekursiv definierte Folge. In den meisten Fällen löse ich solche Aufgaben über folgenden Satz:
Eine monotone und beschränkte Folge ist konvergent, genauereine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge ist konvergent odereine monoton fallende und nach unten beschränkte Folge ist konvergent dafür brauchst Due diese beiden Abschätzungen:(1) Zeige, dass $$ { x }_{ n }^{ 2 }-3\ge 0$$ gilt. Das macht man mit vollständiger Induktion. Die Folge ist dann nach unten beschränkt.
(2) Zeige, dass $${ x }_{ n+1 }^{ }-{ x }_{ n }\le 0$$. Du weißt, die x
n sind > 0 und mit (1.) folgt die Behauptung. Die Folge ist dann monoton fallend.Also ist die Folge konvergent.Du nimmst dann an, die Folge konvergiert gegen a. Dann folgt:$$x_{ n+1 }=\frac { x_{ n } }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2x_{ n } } \Rightarrow a=\frac { a }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2a } \Rightarrow a=\sqrt { 3 } $$Bei Fragen einfach melden.Woodoo
