Kurvendiskussion mit ln-Funktion

Question

folgende Funktion muss auf Max, Min, Wende- & Sattelpunkt geprüft werden:

f(x) = ln(x) - x

f'(x) = 1/x - 1

f''(x) = ( 0 * x - 1 * 1 ) / x^2 = -1 / x^2

f'''(x) =( 0 * x^2 - -1 * 2x ) / x^4 = -2x/x^4 = -2x^-3

Wie berechne ich nun die Nullstellen mit der f'(x)? Wie gehe mit dem Bruch um ?

Die pq-Formel ist nicht anwendbar.

Anschließend kann ich darauf, die Max und Min Punkte berechnen.

Answer 1

Gleichungen in denen die Unbekannte nur an einer Stelle zu sehen ist, kann man direkt zur Unbekannten auflösen.

f'(x) = 1/x - 1 = 0   | +1

1/x = 1   | *x

1 = 1*x   | Seiten tauschen

x = 1

Answer 2

> Wie gehe mit dem Bruch um ?

Mit dem Nenner multiplizieren. Das darfst du machen, wenn du am Ende eine Probe machst.

Comments

Danke für die Antwort.

Gibt es eine Möglichkeit anhand des Beispiels zu zeigen?

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Es ist f'(x) = 1/x - 1. Nullstellen dieser Ableitung bekommst du indem du die Gleichung

        1/x - 1 = 0

löst. In der Gleichung kommt ein Bruch vor (1/x), in dem der Nenner (x) eine Variable (x) hat. Multipliziert man die Gleichung mit diesem Nenner, dann bekommt man

        (1/x - 1) · x = 0·x.

Jetzt die bekannten Rechengesetze anwenden.

Answer 3

Hinweis für Deine weiteren Ableitungen:

$$ \frac1{x}= x^{-1}$$Ableitung:$$\frac {d\, (x^{-1})}{d\, x}= -x^{-2}$$

Was Du da oben gemacht hast, ist ziemlich umständlich.

Answer 4

Die dritte Ableitung ist falsch. Wenn du -1/x^2 ableitest, ergibt das 2/x^3. Also ohne das minus vor der 2.