Wie forme ich x^3 - 1 um zu (x - 1) (x^2 + x + 1)? binomische Formeln?

Question

wie forme ich am einfachsten um? also welchen Gedankengang muss ich folgen um z.b. das hier x^3 - 1 umzuformen? ich habe die lösung (x - 1) (x^2 + x + 1) aber könnte mir jemand schritt für schritt erklären wie man drauf kommt? bin für jede hilfe dankbar!

Answer 1

f(x) = x³ - 1

Die Nullstelle  x=1 sieht man durch Einsetzen →  x - 1 ist ein Faktor (Linearfaktor) des Funktionsterms x³ - 1

→   x³ - 1 =  (x-1) * A   →   A  =  (x³ - 1)  /  (x-1) 

Polynomdivision:

(x³               - 1) : (x - 1)  =   x² + x + 1  

 x³  - x²

 ————————————————————

        x²         - 1

        x²  - x

        —————————————

               x   - 1

               x   - 1

               ——————

                    0

Das genaue Vorgehen dabei wird in diesem Video erklärt:

Polynomdivision  (einfach anklicken)

Gruß Wolfgang

Answer 2

wie forme ich am einfachsten um?

Ich mache das in diesen und ähnlichen Fällen oft so:$$ x^3-1 \\ = x^3 - x^2 + x^2 - x + x -1 \\ = (x-1) \cdot x^2 + (x-1) \cdot x + (x-1) \cdot 1 \\ = (x-1) \cdot (x^2 + x + 1). $$Das ist für mich einfacher, als mir, wie andere, die ganzen Zerlegungen zu merken.

Answer 3

Löse die Gleichung x³ - 1 = 0.

Führe eine Polynomdivision (x³ - 1) : (x - [Lösung]) durch.

>  ich habe die lösung (x + 1) (x² + x + 1)

Korrekt ist aber (x - 1) (x² + x + 1).